Две колонки; Пробел перед выравниванием по левому краю; размещение символа QED

Question

Я использовал найденный кодздесьдля удаления вертикального пробела перед мультиколонками. Я хочу выровнять по левому краю некоторые уравнения. У меня две проблемы:

1. Уравнения не выровнены слева по линии, предшествующей решению (на рисунке это трудно заметить, но слева от выровненной среды имеется очень маленькое горизонтальное пространство).
2. Как сделать так, чтобы символ QED совпадал с самой нижней строкой в ​​решении?

Любая помощь будет оценена по достоинству.

\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsfonts, amsthm}

\usepackage{enumitem}

\usepackage{multicol}

% multi columns in enumerate
\SetEnumitemKey{twocol}{
    before=\raggedcolumns\setlength{\multicolsep}{\topsep}\begin{multicols}{2},
    after=\end{multicols}
}

\parindent0pt

\begin{document}
\title{Title}
\author{Author}
\date{\today}
\maketitle

Here is a problem.
\begin{enumerate}[twocol]
\item $\mathbf{a} = \langle 1, 2 \rangle$, $\mathbf{b} = \langle 3, 4 \rangle$
\columnbreak
\item $\mathbf{a} = \langle 1, 2 \rangle$, $\mathbf{b} = \langle 3, 4 \rangle$
\end{enumerate}
\begin{proof}[Solution]\hfill
\begin{enumerate}[twocol]
\item $\begin{aligned}[t]
&\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(3)+(2)(4) = 11 \\
&|\mathbf{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \\
&|\mathbf{b}| = \sqrt{3^2+4^2} = 5
\end{aligned}$
\item $\begin{aligned}[t]
&\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(3)+(2)(4) = 11 \\
&|\mathbf{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}
\end{aligned}$
\end{enumerate}
\qedhere\end{proof}

Issues:
\begin{itemize}
\item The $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$, $|\mathbf{a}|$, $|\mathbf{b}|$ in the solution are not left-aligned with the $\mathbf{a}$ the precedes the solution (there's a very small horizontal space).
\item The $\square$ needs to align with the lowest row in the solution.
\end{itemize}
\end{document}

Answer 1

Вот два варианта того, как это сделать, которые очень похожи по размещению символа qed, с \qedhereпредшествующим ему отрицательным вертикальным пробелом непосредственно перед концом доказательства. Второй вариант использует окружение tasks, которое делается для «горизонтальной» нумерации. Я воспользовался возможностью определить \absмакрос переменного размера с помощью \DeclarePairedDelimiterкоманды from mathtools(см. подробности по его использованию в документации mathtools).

\documentclass[10pt]{amsart}
\usepackage{mathtools, amssymb, amsfonts, amsthm}%
\usepackage{enumitem}
\DeclarePairedDelimiter\abs\lvert\rvert%
\usepackage{multicol}
\usepackage{tasks}
\settasks{counter-format=(tsk[1]), label-width=1.5em}

% multi columns in enumerate
\SetEnumitemKey{twocol}{
    before=\raggedcolumns\setlength{\multicolsep}{\topsep}\begin{multicols}{2},
    after=\end{multicols}
}

\parindent0pt

\begin{document}
\title{Title}
\author{Author}
\date{\today}
\maketitle

Here is a problem.
\begin{enumerate}[twocol]
\item $\mathbf{a} = \langle 1, 2 \rangle$, $\mathbf{b} = \langle 3, 4 \rangle$
\columnbreak
\item $\mathbf{a} = \langle 1, 2 \rangle$, $\mathbf{b} = \langle 3, 4 \rangle$
\end{enumerate}
\begin{proof}[Solution]\hfill
\begin{enumerate}[twocol]
\item $\begin{aligned}[t]
&\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(3)+(2)(4) = 11 \\
&\abs[\big]{\mathbf{a}} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \\
&\abs{\mathbf{b}} = \sqrt{3^2+4^2} = 5
\end{aligned}$
\item $\begin{aligned}[t]
&\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(3)+(2)(4) = 11 \\
&|\mathbf{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\
\end{aligned}$%
\end{enumerate}
\vspace*{-\dimexpr\baselineskip + \topsep}\qedhere
\end{proof}

Issues:
\begin{itemize}
\item The $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$, $|\mathbf{a}|$, $|\mathbf{b}|$ in the solution are not left-aligned with the $\mathbf{a}$ the precedes the solution (there's a very small horizontal space).
\item The $\square$ needs to align with the lowest row in the solution.
\end{itemize}
\vspace{1cm}

Here is a problem.
\begin{tasks}(2)
\task $\mathbf{a} = \langle 1, 2 \rangle$, $\mathbf{b} = \langle 3, 4 \rangle$
\task $\mathbf{a} = \langle 1, 2 \rangle$, $\mathbf{b} = \langle 3, 4 \rangle$
\end{tasks}
\begin{proof}[Solution]\hfill
\begin{tasks}(2)
\task $\begin{aligned}[t]
&\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(3)+(2)(4) = 11 \\
&\abs{\mathbf{a}} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \\
&\abs{\mathbf{b}} = \sqrt{3^2+4^2} = 5
\end{aligned}$
\task $\begin{aligned}[t]
&\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(3)+(2)(4) = 11 \\
&|\mathbf{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\\
\end{aligned}$%\vspace{1ex}\par
%\qedhere
\end{tasks}
\vspace*{-\baselineskip }\qedhere
\end{proof}

\end{document}