Нелинейные преобразования координат

Question

Я пишу о нейронных сетях, где координатные векторы преобразуются матрицами, а затем поточечно преобразуются нелинейной функцией.

Как уравнение, это что-то вродеσ(шх+б), гдеσ— нелинейная функция,жибявляются матрицей и вектором соответственно иИксвходной вектор, здесь координата в TiкЗ.

Я хочу проиллюстрировать это на простых примерах, используя TiкЗ.шх+бПреобразование легко реализовать с помощью [cm={w-entries, b-coordinate}]опции, а также я могу преобразовать отдельные координаты с помощью calcбиблиотеки.

Однако, как вы можете видеть из MWE, представленного ниже, порядок неправильный. У меня естьж σ(Икс) +би поэтому нужно немного подтолкнуть координаты. Это отлично работает для простого примера, но дает сбой, когда я перехожу к более сложным.

Существует ли простой способ реализовать нелинейные преобразования после преобразования координат с помощью cm?

\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\begin{document}
\pgfmathsetseed{1}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\fill[red!20] (0,0) -- (2.5, 2.5) -- (2.5, 0);
\fill[blue!20] (0,0) -- (2.5, 2.5) -- (0, 2.5);
\begin{scope}[cm={0, 2, -2, 0, (2.25, 0.25)}]
    \foreach \i in {0, ..., 50} {
        \draw[red] ({1/(1+exp(-3*(rnd-1.5)))}, {1/(1+exp(-3*(rnd-1.5))}) circle (0.015);
        \draw[blue] ({1/(1+exp(-3*(rnd+.5)}, {1/(1+exp(-3*(rnd+.5))}) circle (0.015);
    };
\end{scope}
\draw (0,0) -- (2.5, 2.5);
\end{tikzpicture}

\end{document}

РЕДАКТИРОВАТЬОбновление прогресса: мне удалось использоватьотличный ответ суркаи создать желаемую трансформацию.

Однако мне не удаётся заставить его использовать какие-либо внешние переменные. В частности, мне бы хотелось иметь параметр масштабирования или какой-то способ передачи окружающего значения масштаба в преобразование. В настоящее время я могу увеличить размер изображения, только если изменю значение преобразования между сантиметрами и точками. (Есть ли лучший способ перехода между двумя системами координат? Жесткое масштабирование на 28,4 кажется неуклюжим.)

\documentclass[border=5mm]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepgfmodule{nonlineartransformations}
\makeatletter
\def\sigmoidtransformation{%
\edef\oriX{\the\pgf@x}%
\edef\oriY{\the\pgf@y}%
\typeout{old\space y=\oriX\space old \space y=\oriY}
\pgfmathsetmacro{\sigmoidx}{28.4/(1+exp(min(-\oriX/28,4, 5))}
\pgfmathsetmacro{\sigmoidy}{28.4/(1+exp(min(-\oriY/28.4, 5))}
\typeout{new\space x=\sigmoidx\space new\space y=\sigmoidy}
\setlength{\pgf@x}{\sigmoidx pt}
\setlength{\pgf@y}{\sigmoidy pt}
}
\begin{document}
\pgfmathsetseed{1}
\begin{tikzpicture}
\draw[red!50] (0,0) grid[xstep=0.333cm, ystep=0.333cm] (1,1);
\draw[red!50, shift={(0.5, 0.5)}] (0,0) circle (0.5);
\pgftransformnonlinear{\sigmoidtransformation}
\draw[gray] (-3,-3) grid[xstep=15pt, ystep=15pt] (3,3);
\draw[cm={1, 1, 0, 1, (1, 1)}] (0,0) circle(1);
\end{tikzpicture}

\end{document}

Answer 1

Преобразование из cm в pt так же просто, как добавление факторов, таких как 1cm/1pt. И вы можете сделать вещи зависимыми от параметра, встроив их в определение преобразования. (Я также немного подчистил свой старый код.)

\documentclass[border=5mm]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepgfmodule{nonlineartransformations}
\makeatletter
\def\mytrafoA{1}
\def\sigmoidtransformation{%
\pgf@xa=\pgf@x%
\pgf@ya=\pgf@y%
\typeout{old\space x=\pgf@xa\space old \space y=\pgf@ya}%
\pgfmathsetmacro{\sigmoidx}{1cm/(1+exp(min(-\mytrafoA\pgf@xa/1cm, 5))}%
\pgfmathsetmacro{\sigmoidy}{1cm/(1+exp(min(-\mytrafoA\pgf@ya/1cm, 5))}%
\typeout{new\space x=\sigmoidx\space new\space y=\sigmoidy}%
\pgf@x=\sigmoidx pt
\pgf@y=\sigmoidy pt
}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[red!50] (0,0) grid[xstep=0.333cm, ystep=0.333cm] (1,1);
\draw[red!50, shift={(0.5, 0.5)}] (0,0) circle (0.5);
\pgftransformnonlinear{\sigmoidtransformation}
\draw[gray] (-3,-3) grid[xstep=15pt, ystep=15pt] (3,3);
\draw[cm={1, 1, 0, 1, (1, 1)}] (0,0) circle(1);
\end{tikzpicture}
\quad
\begin{tikzpicture}
\draw[red!50] (0,0) grid[xstep=0.333cm, ystep=0.333cm] (1,1);
\draw[red!50, shift={(0.5, 0.5)}] (0,0) circle (0.5);
\def\mytrafoA{2}
\pgftransformnonlinear{\sigmoidtransformation}
\draw[gray] (-3,-3) grid[xstep=15pt, ystep=15pt] (3,3);
\draw[cm={1, 1, 0, 1, (1, 1)}] (0,0) circle(1);
\end{tikzpicture}
\end{document}

Обратите внимание, что окружность строится с помощью некоторых кривых Безье, поэтому, если вы хотите получить более точно преобразованные окружности, вы можете построить их с помощью параметрических графиков.