☰

Ортогональные проекции на эллипсоиды в TikZ

tag-icon • tag-icon tikz-pgf tkz-euclide
Ортогональные проекции на эллипсоиды в TikZ

В TikZ я хочу нарисовать ортогональную проекцию из точки на (повернутый и смещенный) эллипс. В качестве конкретного примера я хотел бы нарисовать кратчайшую линию от точки на картинке до эллипса и желательно также отметить точку на эллипсе:

введите описание изображения здесь

Мне удалось сделать это с окружностью (поскольку точка просто задана пересечением с окружностью и линией, проходящей через саму точку и центр окружности). Но с эллипсом я, похоже, не могу заставить это работать в TikZ.

Пример кода для приведенного выше изображения выглядит следующим образом:

\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz,tkz-euclide}

\begin{document}

\newcommand{\boundellipse}[3]% center, xdim, ydim
{(#1) ellipse (#2 and #3)
}

\begin{tikzpicture}

\draw[shift={(-0.875,0)},rotate=25] \boundellipse{0,0}{1}{3};%left

\node at (0,4)[circle,fill,inner sep=1.5pt]{};

\end{tikzpicture}

\end{document}

решение1

Я предлагаю TikZ + градиентный спуск

\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage{tikz,tkz-euclide}

\begin{document}

\newcommand{\boundellipse}[3]% center, xdim, ydim
    {(#1) ellipse (#2 and #3)}

\makeatletter
\xdef\sx{-0.875} % shift x
\xdef\sy{0} % shift y
\xdef\ra{1} % radius a
\xdef\rb{3} % radius b
\xdef\ro{25} % rotation
\pgfpointxy{0}{4}
\xdef\Px{\the\pgf@x}\xdef\Py{\the\pgf@y}

% let \ang ("angle") be a free variable and run gradient descent
\def\ang{234} % choose your favorite initial value
\foreach\iterationcounter in{1,...,20}{
    \begin{tikzpicture}
        \draw(-5,-3)rectangle(1,5);
        \draw[shift={(-0.875,0)},rotate=25] \boundellipse{0,0}{1}{3};
        \node at (0,4)[circle,fill,inner sep=1.5pt]{};
        % evaluate Ellipse(\ang)
        \pgfpointxy{\sx + \rb*cos(\ang)*sin(\ro) + \ra*sin(\ang)*cos(\ro)}
                    {\sy - \rb*cos(\ang)*cos(\ro) + \ra*sin(\ang)*sin(\ro)}
        \xdef\Qx{\the\pgf@x}\xdef\Qy{\the\pgf@y}
        \draw(\Qx,\Qy)circle(.1);
        % evaluate diff vector to target point
        \xdef\Dx{\the\dimexpr\Px-\Qx}
        \xdef\Dy{\the\dimexpr\Py-\Qy}
        \draw[red,->](\Qx,\Qy)--+(\Dx,\Dy);
        % evaluate tangent line = d Ellipse(\ang) / d\ang 
        \pgfpointxy{- \rb*sin(\ang)*sin(\ro) + \ra*cos(\ang)*cos(\ro)}
                    {+ \rb*sin(\ang)*cos(\ro) + \ra*cos(\ang)*sin(\ro)}
        \xdef\Tx{\the\pgf@x}
        \xdef\Ty{\the\pgf@y}
        \draw[blue,->](\Qx,\Qy)--+(\Tx,\Ty);
        % inner product
        \pgfmathsetmacro\Inn{\Dx*\Tx + \Dy*\Ty}
        % rescale inner product
        \pgfmathsetmacro\inn{\Inn / sqrt(\Tx*\Tx+\Ty*\Ty)}
        \message{^^J thinbold: \inn ^^J}
        % update angle
        \pgfmathsetmacro\ang{\ang + \inn/10} % /10 is the step length
        \xdef\ang{\ang}
    \end{tikzpicture}
}

\end{document}

решение2

Математическая задача и алгоритмический подход

Как предполагает @Thruston, для решения проблемы нужна математика. В любом случае это приводит к нетривиальному (четвертому) уравнению, которое трудно решить аналитическим способом (давайте рассмотриманалогичный вопросилиАнализ уравнения расстояния от точки до эллипса и от точки до эллипсоида). Идея состоит в том, чтобы решить это уравнение численно. Наhttps://wet-robots.ghost.io/simple-method-for-distance-to-ellipse/Я нашел геометрический и стабильный алгоритм, который находит точку (ортогональную проекцию) на эллипсе, минимизируя расстояние от исходной точки.

Алгоритм

Следующие шаги и изображение подскажут вам эту идею.

  1. СоединятьОипдля того, чтобы получитьНачало(это позволяет запустить алгоритм «с правой стороны» эллипса).
  2. Нарисуйте круг (синий) и найдите середину двух пересечений с синим кругом и эллипсом.
  3. Используйте среднюю точку, чтобы нарисовать новый меньший круг (фиолетовый) и повторите процесс (т. е. красный, оранжевый, розовый,...)

введите описание изображения здесь

Код

Коду нужны пакеты tikzи tkz-euclide, в частности, \usetikzlibrary{intersections}для точек пересечения. Я использую, tkz-euclideпотому что чувствую себя хорошо с командами. В любом случае вы можете получить тот же результат в чистом tikz.

\begin{tikzpicture}

% INITIAL DATA %
% the arbitrary point P
\tkzDefPoint(3,2){P}
% the center of the ellipse
\tkzDefPoint(0,0){O}
% use rotate=angle to set the desired orientation
\path[draw,name path=theellipse,rotate=20] (O) ellipse (2cm and 1cm);
\tkzLabelPoints[above right](P)
\tkzLabelPoints[below left](O)

% STARTING POINT OF ALGORITHM %
\path[name path=OP] (O)--(P);
\path[name intersections={of=OP and theellipse,by={Aone}}];
% comment/erase if need next three code lines
\tkzLabelPoint[above left](Aone){$A_{\textrm{start}}$}
\tkzDrawCircle[help lines](P,Aone)
\tkzDrawPoints(Aone)

% ALGORITHM TO FIND THE ORTHOGONAL PROJECTION %
% set up a different number of steps if needed
% (algorithm converges relatively fast)
\foreach \i in {1,...,3}
{
% define a circle with center P through Aone
% (Astart for the first step)
\tkzDefCircle[radius](P,Aone)
\tkzGetLength{dPAone}
\path[name path=circle] (P) circle (\dPAone pt);

% find intersections of circle with ellipse (Aone, Atwo)
\path[name intersections={of=circle and theellipse,by={Atwo,Aone}}];

% find a "proper" midpoint of Aone -- Atwo on the ellipse
\tkzDefMidPoint(Aone,Atwo)\tkzGetPoint{Aone}
\path[name path=PAone] (P)--(Aone);
\path[name intersections={of=PAone and theellipse,by={Aone}}];
}


% GET AND PRINT OUT THE DISTANCE
\tkzDrawPoints(O,P,Aone)
\tkzDrawSegment[red](P,Aone)
\end{tikzpicture}

введите описание изображения здесь

решение3

Для сравнения, вы можете сделать это очень просто вМетапостиспользуя solveмакрос и подходящую вспомогательную функцию.

введите описание изображения здесь

\documentclass[border=5mm]{standalone}
\usepackage{luamplib}
\begin{document}
\mplibtextextlabel{enable}
\begin{mplibcode}
beginfig(1);

    path e; pair p; numeric k;
    e = fullcircle xscaled 233 yscaled 144 rotated 10;
    p = 160 dir 142;

    vardef acute(expr t) =
        direction t of e dotprod (p - point t of e) > 0
    enddef;

    k = solve acute(0, 4);

    drawarrow p -- point k of e withcolor red;
    draw e; 
    dotlabel.top(btex $p$ etex, p);

endfig;
\end{mplibcode}
\end{document}

Он упакован в , luamplibпоэтому вы можете скомпилировать его с помощью lualatex.

Примечания

  • solveобъясняется на страницах 176-177книга Метафонт.

  • Идея состоит в том, что вы определяете макрос fooтаким образом, что foo(x)либо trueили false. Затем вы вызываете , solve foo(a, b)где aи bявляются значениями такими, что foo(a)является истинным и foo(b)является ложным. solveиспользует двоичный поиск для нахождения граничного значения между aи b.

  • В этом случае я определил макрос acute, который использует dotprodоператор, чтобы сообщить нам, образует ли касательная в точке tэллипса острый угол с линией, проходящей через pточку tэллипса.

  • solveнаходит точку, в которой угол больше не является острым, то есть точку, в которой прямая к pортогональна касательной, и, следовательно, является ближайшей к p.

  • Для выбора правильных начальных значений для различных положений требуются определенные навыки и рассудительность p.

Как видите, мое объяснение гораздо длиннее кода...

Связанный контент