為什麼表達式 exp(i*pi) 在 GNU Octave 中傳回錯誤結果？

Question

今天開始學習GNU Octave，嘗試了手冊中給出的第一個表達式

exp(i*pi)

結果是

ans = -1.0000e+000 + 1.2246e-016i

GNU 科學圖書館似乎也給出了類似的結果。

那麼這是一個Octave bug，還是數值分析軟體的一般問題（符號評估軟體一定會給出精確的答案）？

Answer 1

這不是兩者的錯誤，而是由於計算機執行浮點運算的方式造成的。任何計算機的操作精度都是有限的，因此有時您會看到這樣的異常情況。雖然可以編寫可以處理此問題的軟體，但這將花費更多的計算時間並大大增加記憶體需求。

如果你看一下，e^(i*pi) 回傳 -1 + 1.2x10^-16i。正如您所看到的，虛部非常小（大多數人會認為它可以忽略不計，因為它比實部小 16 個數量級）。此分量是由舍入和精度誤差引入的，既與計算本身有關，也與 pi 的儲存值有關，因為它是無理數的（請參閱這個連結另一個處理無理數的例子）。

如果這種計算錯誤是不可接受的，您應該研究執行符號分析而不是數值分析的數學包，或使用高精度浮點數。需要注意的是，它們會大大增加您的記憶體需求，符號分析通常要慢得多。此外，更高精度的數字只會縮小捨去/精度誤差的幅度，不是消滅他們。