\paragraph{*}
So we have that: $$|f_n(x)g_n(x)-f_n(x)g(x) + f_n(x)g(x) - f(x)g(x)|$$
$$\le |f_n(x)g_n(x)-f_n(x)g(x)|+|f_n(x)g(x)-f(x)g(x)|$$
$$=|f_n(x)||g_n(x)-g(x)|+|g(x)||f_n(x)-f(x)|$$
$$\le M_1\epsilon+M_2\epsilon$$
$$=\epsilon(M_1+M_2) \longrightarrow 0$$ as $n\longrightarrow \infty$.
基本上我想讓它「當 n 趨於無窮大」出現在與趨於 0 部分相同的線上。我該怎麼做呢？
答案1
你的問題是$$ ... $$讓你進入顯示數學模式。這是為了展示數學。當您將數學括起來時$$ ... $$，它會被放置在一個新行上，在顯示的數學和上面的行之間有一點跳躍。然後，結束之外的所有內容$$都會換成新行，顯示的數學值和下面的行之間也會有相同的小跳躍。數學也是中心。這至少是預設行為。
您要做的就是離開顯示數學模式，然後添加as $n\longleftarrow\infty$.正如我上面所解釋的，這是一個新的行。你想要做的是保持數學模式：
\[=\epsilon(M_1+M_2) \longrightarrow 0 \text{ as } n\longrightarrow \infty\]
實際上有幾種方法可以在數學模式中包含文字。我喜歡使用\text{...}，但是，正如@Werner 指出的那樣，這需要您加載包amsmath。\mbox{...}是一個也可以工作的替代方案。
我也推薦\toover \longrightarrowfor n \to \infty，但這是一個選擇的問題。
在其他新聞中，你應該使用\[ ... \]超過$$ ... $$，正如我上面所說的。點擊連結了解原因。
然而話雖如此，這並不是使用顯示數學環境的最佳方式。也許考慮這樣的事情：
\documentclass[12pt]{article}
\pagestyle{plain}
\usepackage[margin=1.8cm]{geometry}
\geometry{a4paper}
\usepackage[parfill]{parskip}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\[
\begin{aligned}
|f_{n}&(x)g_{n}(x) - f_{n}(x)g(x) + f_{n}(x)g(x) - f(x)g(x)| \\
&\leq |f_{n}(x)g_{n}(x) - f_{n}(x)g(x)| + |f_{n}(x)g(x) -
f(x)g(x)| \\
&= |f_{n}(x)||g_{n}(x) - g(x)| + |g(x)||f_{n}(x) - f(x)| \\
&\leq M_{1}\epsilon + M_{2}\epsilon \\
&= \epsilon(M_1+M_2) \longrightarrow 0 \text{ as } n \to \infty
\end{aligned}
\]
\end{document}
編輯：
或者更好的是，我強烈推薦這裡的後續問題的解決方案：