如何說明點十進制數到二進制數的轉換

Question

您無法準確地從十進制轉換為二進制，因為 1/5 需要無限多個係數。（不過，我們可以編寫程式碼來獲得週期性擴展）

根據從十六進位到十進制的轉換，這可以在xintexpr.

但由於結果將使用xintfrac內部符號，我還從中選取了一個\PolDecToString巨集polexpr 0.4。（最近您可能需要更新您的 TeX 安裝）。

\documentclass{article}
\usepackage{xintexpr}
\usepackage{xintbinhex}

\usepackage{polexpr}[2018/02/16]% Only for its \PolDecToString commodity!
\begin{document}
\PolDecToString{\xintREZ{\xinttheexpr "0.A46C\relax}}
\end{document}

這裡是二進位到十進制的轉換

\documentclass{article}
\usepackage{xintexpr}% we could load xintfrac only, but anyhow
% polexpr loads xintexpr
\usepackage{xintbinhex}

\usepackage{polexpr}[2018/02/16]% Only for its \PolDecToString commodity!

\makeatletter
\newcommand\FracBinToDecimal[1]{\romannumeral-`0%
  % to be used on input expanding to
  % <binary digits>[.<binary digits>]
  \expandafter\FracBin@ToDecimal\romannumeral0\xintraw{#1}%
  % the above handles this abusively as if was a decimal number with
  % only 1's and 0's
}%
\def\FracBin@ToDecimal #1/#2[#3]{% something got wrong if #2 is not 1 !
  \ifnum#3<\z@
    \expandafter\@firstoftwo
  \else
    \expandafter\@secondoftwo
  \fi
  {\PolDecToString
     {\xintREZ{\xintiiMul{\xintBinToDec{#1}}{\xintiiPow{5}{-#3}}[#3]}}%
  }%
  {\xintiiMul{\xintBinToDec{#1}}{\xintiiPow{2}{#3}}}%
}%
\makeatother

\newcommand\test[1]{\[#1_b = \FracBinToDecimal{#1}_{10}\]}

\begin{document}    
\test{11001}

\test{11001.11001}

\test{0.0001}

\test{-1111.1111}
\end{document}

將計算表新增至 OP 後，顯示所尋找的設計。

請注意，所有計算都是精確的，不會出現 OP 計算表中明顯的錯誤。

可以添加一個週期檢測器，~~但必須保留所有先前小數部分的記憶體（例如，如果您的週期長度為 1000000，這將成為一個問題）。~~一般來說，句點在小數點之後立即開始，我們可以檢測到它稍後開始的時間。儘管如此，這個週期確實可能非常長：

考慮0.521728515624to base 的16範例。 1000000000000=10^12是16^3次5^12。因此，我們將有一個句點（除了奇蹟般的數字巧合）將從小數點後 3 位數字開始。週期的長度（這裡的分子是 5 的質數）將是的16乘法群中的的階數Z/5^12 Z。

phi(5^12) = 5^12 - 5^11 = 4 * 5^11 = 195312500

然後

>>> for i in [2, 4, 5]:
...     pow(16, 195312500//i, 244140625)
... 
1
1
97656251

證明這在這個乘法群中16是完全有序的。5^11 = 48828125因此，這是的 16 進制展開的周期長度0.521728515624：週期模式有48828125數字！

一般來說，我們發現先驗地找到週期長度與分解數字有很大關係。上面的所有計算都可以透過合適的 xintexpr 程式相當快地完成，因為素因子（非常）小。當我們開始使用超過 8 位的質因數時，這對於僅使用 TeX 巨集擴展的計算來說是一個艱鉅的挑戰！

我沒有使用表格來允許分頁，最好是使用一些 TeX，\halign你也可以使用 LaTeX 的製表環境（從未測試過）。或只是固定寬度的盒子。

\documentclass[french]{article}
\usepackage{xintfrac, xinttools}
\usepackage{polexpr}[2018/02/16]% Pour \PolDecToString
\usepackage{babel}
\usepackage[autolanguage,np]{numprint}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\newcommand\ConvertitEnHexa[2][25]{% #1 MUST BE OF THE 0.<decimal digits> type
  % (we can not use 1/5 because numprint's \np macro does not like the /)
  % the dot will be converted into a comma by \np macro
  % computes 25 digits by default. Abort earlier if all become zeros.
  \noindent Nombre à convertir en base 16: \np{#2}.\par
  \edef\ConvertitNombre{\xintRaw{#2}}%
  \xintiloop[1+1]
  \edef\ConvertitSeizeFoisNombre{\xintMul{16}{\ConvertitNombre}}%
  \edef\ConvertitSeizeFoisNombrePartieInt
      {\xintTTrunc{\ConvertitSeizeFoisNombre}}%
  \edef\ConvertitSeizeFoisNombrePartieFrac
      {\xintTFrac{\ConvertitSeizeFoisNombre}}%
  $16\times\np{\PolDecToString{\ConvertitNombre}}
             = \boxed{\ConvertitSeizeFoisNombrePartieInt} +
               \np{\PolDecToString{\ConvertitSeizeFoisNombrePartieFrac}}$\par
  \let\ConvertitNombre\ConvertitSeizeFoisNombrePartieFrac
  \xintifZero{\ConvertitNombre}{\xintbreakiloop}{}%
  \ifnum#1>\xintiloopindex\space
  \repeat
}
\newcommand\ConvertitFracEnHexa[2][25]{%
  % #1 MUST BE OR EXPAND TO A/B WITH 0 < A < B
  % computes 25 digits by default. Abort earlier if all become zeros.
  \edef\ConvertitNombre{\xintIrr{#2}}%
  \noindent Nombre à convertir en base 16: \ConvertitNombre.\par
  \xintiloop[1+1]
  \edef\ConvertitSeizeFoisNombre{\xintMul{16}{\ConvertitNombre}}%
  \edef\ConvertitSeizeFoisNombrePartieInt
      {\xintTTrunc{\ConvertitSeizeFoisNombre}}%
  \edef\ConvertitSeizeFoisNombrePartieFrac
      {\xintTFrac{\ConvertitSeizeFoisNombre}}%
  $16\times\xintFrac{\xintRawWithZeros\ConvertitNombre}
             = \boxed{\ConvertitSeizeFoisNombrePartieInt} +
               \xintFrac{\xintRawWithZeros\ConvertitSeizeFoisNombrePartieFrac}$\par
  \let\ConvertitNombre\ConvertitSeizeFoisNombrePartieFrac
  \xintifZero{\ConvertitNombre}{\xintbreakiloop}{}%
  \ifnum#1>\xintiloopindex\space
  \repeat
}

\begin{document}
\ConvertitEnHexa{0.99609375}

\bigskip

\ConvertitEnHexa{0.521728515625}
\bigskip

\ConvertitEnHexa{0.521728515624}
et ça peut continuer longtemps avant que l'on voie la période\dots\bigskip

\clearpage
\ConvertitEnHexa[12]{0.4075}
etc\dots

\bigskip

\ConvertitFracEnHexa[12]{4095/4096}

\bigskip

\ConvertitFracEnHexa[7]{1/5}
etc\dots

\bigskip

\ConvertitFracEnHexa[7]{3/7}
etc\dots

\bigskip

\clearpage

\ConvertitFracEnHexa[7]{9/11}
etc\dots

\end{document}

最後更新。更新圖像以與此相對應。

\documentclass[french]{article}
\usepackage{xintfrac, xinttools}
\usepackage{polexpr}[2018/02/16]% Pour \PolDecToString
\usepackage{babel}
\usepackage[autolanguage,np]{numprint}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\newcommand\MiniConvert[1]{\ifcase #1
  0\or 1\or 2\or 3\or 4\or 5\or 6\or 7\or 8\or 9\or A\or B\or C\or D\or E\or
  F\or G\or H\or I\or J\or K\or L\or M\or N\or O\or P\or Q\or R\or S\or T\or
  U\or V\or W\or X\or Y\or Z\else\ERROR\fi}%
\newcommand\ConvertitEnBaseB[3][25]{% #1 MUST BE OF THE 0.<decimal digits> type
  % (we can not use 1/5 because numprint's \np macro does not like the /)
  % the dot will be converted into a comma by \np macro
  % computes 25 digits by default. Abort earlier if all become zeros.
  % #3 = base < 36
     \def\ConvertiDots{\dots}%
  \noindent Nombre à convertir en base #3: \np{#2}.\par
  \def\Converti{0,}%<<<< LOCALIZE TO YOUR LANGUAGE
  \edef\ConvertitNombre{\xintRaw{#2}}%
  \xintiloop[1+1]
  \edef\ConvertitBFoisNombre{\xintMul{#3}{\ConvertitNombre}}%
  \edef\ConvertitBFoisNombrePartieInt
      {\xintTTrunc{\ConvertitBFoisNombre}}%
  \edef\ConvertitBFoisNombrePartieFrac
      {\xintTFrac{\ConvertitBFoisNombre}}%
  $#3\times\np{\PolDecToString{\ConvertitNombre}}
             = \boxed{\ConvertitBFoisNombrePartieInt} +
               \np{\PolDecToString{\ConvertitBFoisNombrePartieFrac}}$
  \hfill
  \llap{${}\longrightarrow{}$\MiniConvert\ConvertitBFoisNombrePartieInt}\par
  \edef\Converti{\Converti\MiniConvert{\ConvertitBFoisNombrePartieInt}}%
  \let\ConvertitNombre\ConvertitBFoisNombrePartieFrac
  \xintifZero{\ConvertitNombre}
    {\xintbreakiloopanddo\let\ConvertiDots\empty.}%
    {}%
  \ifnum#1>\xintiloopindex\space
  \repeat
  \noindent\mbox{}\hfill$\np{#2}=[$\Converti\ConvertiDots$]_{#3}$\par
}
\newcommand\ConvertitFracEnBaseB[3][25]{%
  % #1 MUST BE OR EXPAND TO A/B WITH 0 < A < B
  % computes 25 digits by default. Abort earlier if all become zeros.
     \def\ConvertiDots{\dots}%
  \edef\ConvertitNombre{\xintIrr{#2}}%
  \def\Converti{0,}%<<<< LOCALIZE TO YOUR LANGUAGE
  \noindent Nombre à convertir en base #3: \ConvertitNombre.\par
  \xintiloop[1+1]
  \edef\ConvertitBFoisNombre{\xintMul{#3}{\ConvertitNombre}}%
  \edef\ConvertitBFoisNombrePartieInt
      {\xintTTrunc{\ConvertitBFoisNombre}}%
  \edef\ConvertitBFoisNombrePartieFrac
      {\xintTFrac{\ConvertitBFoisNombre}}% does \xintREZ, not good for us
  $#3\times\xintFrac{\xintRawWithZeros\ConvertitNombre}
             = \boxed{\ConvertitBFoisNombrePartieInt} +
               \xintFrac{\xintRawWithZeros\ConvertitBFoisNombrePartieFrac}$\par
  \hfill
  \llap{${}\longrightarrow{}$\MiniConvert\ConvertitBFoisNombrePartieInt}\par
  \edef\Converti{\Converti\MiniConvert{\ConvertitBFoisNombrePartieInt}}%
  \let\ConvertitNombre\ConvertitBFoisNombrePartieFrac
  \xintifZero{\ConvertitNombre}
    {\xintbreakiloopanddo\let\ConvertiDots\empty.}%
    {}%
  \ifnum#1>\xintiloopindex\space
  \repeat
  \noindent\mbox{}\hfill$\xintFrac{#2}=[$\Converti\ConvertiDots$]_{#3}$\par}%


\begin{document}
\ConvertitEnBaseB{0.99609375}{16}

\bigskip

\ConvertitEnBaseB{0.521728515625}{16}
\bigskip

\ConvertitEnBaseB{0.521728515624}{16}
et ça peut continuer longtemps avant que l'on voie la période\dots\bigskip

\ConvertitEnBaseB[12]{0.4075}{16}
etc\dots

\bigskip

\ConvertitFracEnBaseB[12]{4095/4096}{16}

\bigskip

\ConvertitFracEnBaseB[7]{1/5}{16}
etc\dots

\bigskip

\ConvertitFracEnBaseB[7]{3/7}{16}
etc\dots

\bigskip

\ConvertitFracEnBaseB[10]{9/11}{16}
etc\dots

\bigskip

\ConvertitFracEnBaseB[10]{9/11}{15}
etc\dots

\bigskip

\ConvertitFracEnBaseB[10]{9/11}{14}
etc\dots

\bigskip

\ConvertitFracEnBaseB[15]{9/11}{13}
etc\dots

\bigskip

\ConvertitFracEnBaseB[10]{9/11}{36}
etc\dots

\bigskip

\ConvertitFracEnBaseB[15]{9/11}{2}
etc\dots
\end{document}

Answer 1