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使用“繪圖函數”繪製曲線與貝塞爾曲線（切線法）

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使用“繪圖函數”繪製曲線與貝塞爾曲線（切線法）

關於顯示的 MWE，我需要繪製具有以下屬性的拋物線：

  • 拋物線從點“A”開始
  • 拋物線終點為“B”點
  • 拋物線的峰值位於「F」點
  • “AE”與拋物線在“A”點相切
  • 「BE」與拋物線在「B」點相切
  • 「II」與拋物線在「F」點相切

我使用三種方法繪製了這個拋物線：

  • 繪圖功能： 正確的一項是洋紅色線的一項
  • 具有 2 個控制點的貝塞爾曲線，僅定義起點和終點（紅色曲線）
  • 具有 2 個控制點的貝塞爾曲線，其中定義了起點和終點以及拋物線的峰值（藍色曲線）。

問題是，如何使用切線（控制點，貝塞爾曲線...）的方法繪製拋物線，以便我可以獲得透過繪圖函數獲得的相同結果，因為我不能總是得到曲線的函數。簡而言之：

  • 透過顯示的切線和控制點的知識：如何使用貝塞爾曲線方法（...controls...）繪製曲線，使得結果與「繪圖函數」獲得的洋紅色曲線相同（這是正確的）
  • 如果我碰巧知道（A）和（B）處的角度分別為（14.036243468）度和（82.874983651）度（水平線：角度= 0）（角度可能會有所不同，這只是為了強調過程），如果我也知道角度，如何定義切線的角度？
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath} 
\usepackage{tikz}


\begin{document}


\begin{figure}[!htbp]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}


%%%%%%%%%%%%%%GRID%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\draw[help lines,step=0.5](0,2) grid(12,25);


\coordinate (a1) at (0,12.5);
\node[circle,inner sep=2pt,fill=none, draw=black] at (a1) (a1) {A};

\coordinate (b1) at (12,12.5);
\node[circle,inner sep=2pt,fill=none, draw=black] at (b1) (b1) {B};

\draw  [very thick] (a1) -- (b1);

\coordinate (V1) at (2*12/3,12.5-0.1*32);
\node[circle,inner sep=2pt,fill=none, draw=black] at (V1) (V1) {E};

\draw [dashed] (a1) -- (V1);
\draw [dashed] (V1) -- (b1);

\coordinate (ZS1) at (12/3^0.5,12.5-0.1*18.475);
\node[circle,inner sep=2pt,fill=none, draw=black] at (ZS1) (ZS1) {F};


\coordinate (V2L) at (0,12.5-0.1*18.475);
\node[circle,inner sep=2pt,fill=none, draw=black] at (V2L) (V2L) {I};

\coordinate (V2'L) at (04.6188,12.5-0.1*18.475);
\node[circle,inner sep=2pt,fill=none, draw=black] at (V2'L) (V2'L) {C};

\coordinate (V2R) at (12,12.5-0.1*18.475);
\node[circle,inner sep=2pt,fill=none,draw=black] at (V2R) (V2R) {I};


\coordinate (V2'R) at (12-2.3094,12.5-0.1*18.475);
\node[circle,inner sep=2pt,fill=none,draw=black] at (V2'R) (V2'R) {B};

\draw[dashed] (V2L) -- (V2R);

%RED CURVE
\draw[very thick,color=red] (a1) .. controls (V2'L) and  (V2'R) .. (b1);

%BLUE CURVE
\draw[very thick,color=blue] (a1) .. controls (V2'L) .. (ZS1) ..  controls (V2'R).. (b1);

%plot the function
\begin{scope}[shift={(0,12.5)}]
\draw[very thick,color=magenta, domain=0:12] plot (\x, {0.1*-(2*-1)*pow(\x,3)/(6*12)+\x*12*0.1*(2*-1)/6});
\end{scope}

\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{figure} 
\end{document}

在此輸入影像描述

答案1

這或多或少取自hobby手冊。

\documentclass[tikz,border=3mm]{standalone}
\usetikzlibrary{hobby}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[tangent/.style={%
in angle={(180+#1)} ,
Hobby finish ,
designated Hobby path=next , out angle=#1,
}]
\draw[color=magenta,ultra thick, domain=0:12] plot 
(\x, {0.1*-(2*-1)*pow(\x,3)/(6*12)+\x*12*0.1*(2*-1)/6});

\draw[thick,use Hobby shortcut] ([tangent=-22]0,0) .. ([tangent=0]7,-1.85) .. 
([tangent=38]12,0);

\end{tikzpicture}
\end{document}

在此輸入影像描述

這是一種使用hobby庫根據輸入建立路徑的樣式：起點、終點、尖端和確定坡度的點。

\documentclass[tikz,border=3mm]{standalone}
\usetikzlibrary{calc,hobby}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[tangent/.style={%
    in angle={(180+#1)} ,
    Hobby finish ,
    designated Hobby path=next , out angle=#1},
   para/.code={\tikzset{/tikz/params/.cd,#1}
     \def\pv##1{\pgfkeysvalueof{/tikz/params/##1}}
     \tikzset{use Hobby shortcut,insert path={let \p1=($(\pv{S})-(\pv{start})$),
        \p2=($(\pv{end})-(\pv{S})$),\n1={atan2(\y1,\x1)},\n2={atan2(\y2,\x2)} in 
        ([tangent=\n1]\pv{start}) .. ([tangent=0]\pv{tip}) .. ([tangent=\n2]\pv{end})
        }}
   },params/.cd,start/.initial={-1,0},end/.initial={1,0},
    tip/.initial={0,-1},S/.initial={0,-2}]
 % define the coordinates in an intuitive way   
 \path (0,0) coordinate (A) (12,0) coordinate (B)
 (2*12/3,-0.1*32) coordinate (E)
 (12/3^0.5,-0.1*18.475) coordinate (F);
 % your plot 
 \draw[color=magenta,ultra thick, domain=0:12] plot 
    (\x, {0.1*-(2*-1)*pow(\x,3)/(6*12)+\x*12*0.1*(2*-1)/6});
 % your tangents
 \draw[dashed] (A) -- (E) (B) -- (E);
 % hobby-based path
 \draw[thick,para={start=A,end=B,tip=F,S=E}];
 % label the points
 \path foreach \X in {A,B,E,F}
 {(\X) node[circle,fill,inner sep=1pt,label=below:{$\X$}]{}};
\end{tikzpicture}
\end{document}

在此輸入影像描述

請注意，三次貝塞爾曲線有 8 個參數。其中 3 個是兩個平移參數和一個角度。因此，您有 5 個可用於表徵曲線的參數。您可以向後建立上述曲線，但hobby至少對於您在此處描述的情況而言，是這樣做的。

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