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Metapost 中的 arctime 如何運作？

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Metapost 中的 arctime 如何運作？

請看下面的 Metapost 程式碼：

path p;
p = (0,0){up}..{right}(200,100)..{up}(300,400)..cycle;
len := arclength p;
s := arctime (2500) of p;
t := arctime (len+2500) of p;
draw p;
show len;% 2799
show s;% 2.92...
show t;% 2.67...

為什麼 s 和 t 不一樣？我認為，當我添加弧長時，什麼都不會改變。錯誤在哪裡？

編輯：我使用了這裡的2.02版本： http://www.tlhiv.org/mppreview/

This is MetaPost, version 2.02 (TeX Live 2023) (kpathsea version 6.3.5)  28 APR 2024 02:47
 **preview.mp
 (/usr/share/texlive/texmf-dist/metapost/base/mpost.mp
 (/usr/share/texlive/texmf-dist/metapost/base/plain.mp
 Preloading the plain mem file, version 1.005) ) (./preview.mp
 >> 2799.0210591829564
 >> 2.9211035593209118
 >> 2.6795082428530486 [0] )
 1 output file written: preview.mps

答案1

我並不聲稱完全理解它的arctime含義以及用於計算它的演算法。檢查MetaPost原始碼，在mp.w檔案中（您可以嘗試使用cweave將此CWEB檔案編譯為PDF，但有些_s沒有前綴，\_這會導致TeXed時出錯），第405節，「arclength和arctime操作都基於遞歸函數，求給定dz0、dz1、dz2... 的三次樣條的弧長”，實際實現是mp_get_arc_time第 419 節中的函數。

透過閱讀這些部分，我了解到的是arctime透過零查找來實現，使用浮點（或定點）數的二分搜尋來實現 的反函數mp_do_arc_test()。

如果在命令列中使用具有預設 32 位元定點（也稱為縮放）的 MetaPost epsilon = 0.00002，.

這http://www.tlhiv.org/mppreview/使用 double，它設置epsilon = 1.52587890625e-05，並且其他數字系統都使用類似的值。

第 419 條規定，

如果 arc0 大於循環路徑 h 的弧長，則結果是大於路徑長度的時間值。

其中arc0是提供給 的數字參數arctime。

使用問題中的修改範例，

path p;
p = (0,0){up}..{right}(200,100)..{up}(300,400)..cycle;
len := arclength p;
s := arctime (2500) of p;
t := arctime (len+2500) of p;
show len;
show s;
show t;
show epsilon;
show arclength subpath (0,t) of p;
show len+2500;
end;

使用預設的縮放數字系統：

>> 2799.02077
>> 2.92111
>> 5.92111
>> 0.00002
>> 5299.043
>> 5299.02077

使用-numbersystem=double

>> 2799.0210591829564
>> 2.9211035593209118
>> 2.6795082428530486
>> 1.52587890625e-05
>> 2200.7155501530865
>> 5299.0210591829564

在我看來，t=5.92是適合此描述的正確值，並且可以使用 來解釋結果t = s + l，其中l是循環路徑 的長度p，長度為 3 arctime。arclength subpath (0,t) of p = a

因此，結果很可能t=2.67...表明由於添加了不同的數字系統而導致的錯誤。

答案2

進一步更新：開發團隊已在儲存庫中發布了修復程式。我從那裡拉出來並在本地構建它，看起來不錯。使用下面貼上的範例，我現在得到了：

> mpost b.mp
This is MetaPost, version 2.11 (TeX Live 2025/dev) (kpathsea version 6.4.0/dev)
(/usr/local/texlive/2024/texmf-dist/metapost/base/mpost.mp
(/usr/local/texlive/2024/texmf-dist/metapost/base/plain.mp
Preloading the plain mem file, version 1.005) ) (./b.mp
>> 2799.02077
>> 2.92111
>> 5.92111
>> 3
>> "scaled" [1] )
1 output file written: b.1
Transcript written on b.log.

> mpost -numbersystem=double b.mp
This is MetaPost, version 2.11 (TeX Live 2025/dev) (kpathsea version 6.4.0/dev)
(/usr/local/texlive/2024/texmf-dist/metapost/base/mpost.mp
(/usr/local/texlive/2024/texmf-dist/metapost/base/plain.mp
Preloading the plain mem file, version 1.005) ) (./b.mp
>> 2799.0210591829564
>> 2.9211035593209118
>> 5.9211035593209118
>> 3
>> "double" [1] )
1 output file written: b.1
Transcript written on b.log.

與其他數字系統類似。毫無疑問，這個修復將在適當的時候進入標準發行版。

回答原來的問題

當路徑達到所需長度（以 PostScript 點為單位）時，MP 中的運算子會傳迴路徑上的arctime時間。tarclength

因此，如果p是一條路徑，並且a是所需的長度，則arctime a of p給予的時間t使得arclength subpath(0, t) of p = a。在所有正常使用中，您應該確保所需的長度a在 0 和 之間arclength p。

但如果路徑p恰好是循環的，那麼你可以給出更長的長度。這與你可以參考etc的方式類似point 9 of fullcircle。該演算法沿著路徑逐點工作，如果它回到循環的開始，它會進行計算以縮短過程的其餘部分（如果您確實想要詳細信息，您可以檢查源代碼）。

此計算的實施導致了新數字系統的錯誤，現已修正。感謝開發團隊的快速修復。

更新: 開發團隊確認由於在 MP 原始程式碼中使用了隱式整數數學，這看起來像是一個錯誤。

這確實是一條評論，但日誌檔案部分太長，所以我回答這個。

在目前版本的 MP 中，我發現您的範例使用舊scaled數字系統給出了預期結果。但這三個新系統中的任何一個都會產生「意想不到的」結果。這看起來像是要向開發團隊報告的事情。

如果我在 OP 範例中新增幾行，如下所示：

beginfig(1);
path p;
p = (0,0){up}..{right}(200,100)..{up}(300,400)..cycle;
len := arclength p;
s := arctime (2500) of p;
t := arctime (len+2500) of p;
draw p;
show len;% 2799
show s;% 2.92...
show t;% 2.67...
show arctime arclength p of p;
show numbersystem;

endfig;
end

mpost然後，如果我使用預設數字系統運行，我會得到此日誌檔案：

This is MetaPost, version 2.10 (TeX Live 2024) (kpathsea version 6.4.0)  28 APR 2024 15:56
**b.mp
(/usr/local/texlive/2024/texmf-dist/metapost/base/mpost.mp
(/usr/local/texlive/2024/texmf-dist/metapost/base/plain.mp
Preloading the plain mem file, version 1.005) ) (./b.mp
>> 2799.02077
>> 2.92111
>> 5.92111
>> 3
>> "scaled" [1] )
1 output file written: b.1

但如果我使用其他三個數字系統中的任何一個，我會得到第一個報告的「意外」值t。因此，顯然在arclength使用新的數字系統計算循環路徑時出現了問題。

:!mpost -numbersystem=double b.mp
This is MetaPost, version 2.10 (TeX Live 2024) (kpathsea version 6.4.0)
(/usr/local/texlive/2024/texmf-dist/metapost/base/mpost.mp
(/usr/local/texlive/2024/texmf-dist/metapost/base/plain.mp
Preloading the plain mem file, version 1.005) ) (./b.mp
>> 2799.0210591829564
>> 2.9211035593209118
>> 2.6795082428530486
>> 3
>> "double" [1] )
1 output file written: b.1
Transcript written on b.log.
"b.log" 12L, 389B    

:!mpost -numbersystem=decimal b.mp
This is MetaPost, version 2.10 (TeX Live 2024) (kpathsea version 6.4.0)  28 APR 2024 15:58
**b.mp
(/usr/local/texlive/2024/texmf-dist/metapost/base/mpost.mp
(/usr/local/texlive/2024/texmf-dist/metapost/base/plain.mp
Preloading the plain mem file, version 1.005) ) (./b.mp
>> 2799.021059182955437254465959453077
>> 2.921103559320912153438877894997069
>> 2.67950824285304864431956913069307
>> 3
>> "decimal" [1] )
1 output file written: b.1

:!mpost -numbersystem=binary b.mp
This is MetaPost, version 2.10 (TeX Live 2024) (kpathsea version 6.4.0)  28 APR 2024 15:58
**b.mp
(/usr/local/texlive/2024/texmf-dist/metapost/base/mpost.mp
(/usr/local/texlive/2024/texmf-dist/metapost/base/plain.mp
Preloading the plain mem file, version 1.005) ) (./b.mp
>> 2799.0210591829554372544659594531163
>> 2.9211035593209121534388778949970568
>> 2.6795082428530486443195691306930351
>> 3
>> "binary" [1] )
1 output file written: b.1

根據我使用 MP 的經驗，舊scaled系統幾乎總是更好。 OP 可能會要求 thiv.org 預覽器的擁有者使用預設數位系統，除非另有明確要求。

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