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Wie kann ich das Dreieck zeichnen, das die Kugel tangiert?

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Wie kann ich das Dreieck zeichnen, das die Kugel tangiert?

Ich versuche, eine Abbildung des Problems 21 zu zeichnen https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2019_AMC_10A_Problems/Problem_21

Eine Kugel mit Mittelpunkt $O$ hat Radius 6. Ein Dreieck mit den Seitenlängen $15$, $15$ und $24$ ist so im Raum angeordnet, dass jede seiner Seiten die Kugel berührt. Ich habe versucht

\documentclass[border=2mm,12pt,tikz]{standalone}
\usepackage{tikz-3dplot}
\begin{document}
    \tdplotsetmaincoords{60}{140}
    \begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords,scale=1/2] 
    \path 
    (0,0,0)  coordinate  (O);

    \begin{scope}
    \fill[ball color=gray!10,tdplot_screen_coords] (O)  circle[radius=6]; 
    \end{scope}
    \end{tikzpicture}
\end{document}

Wie kann ich ein Dreieck zeichnen?

Antwort1

Dies ist eine Version, die die Punkte aus den Eingaben mit pgf-Methoden berechnet. Die Ausgabe ist viel weniger spektakulär alsminthien_2016's nette Antwort, ich unterscheide (in dieser Antwort) nicht zwischen sichtbaren und verborgenen Teilen des Dreiecks und des Kreises. Die Schritte sind:

  1. berechnen Sie dieRadius rdes Inkreises;
  2. Berechnen Sie die Höhe hder Ebene, die das Dreieck enthält.
  3. berechnen Sie dieAbstände der Punkte, an denen der Inkreis das Dreieck berührt, zu den Ecken des Dreiecksund die Winkel des Dreiecks;
  4. füge die Ecken hinzu. Eine Kante kann als parallel zur x-Achse betrachtet werden. Somit liegen zwei Ecken bei z=hund in den jeweiligen Berührungsabständen. Die dritte Ecke kann dann aus den Winkeln rekonstruiert werden y=-r.x

Dies ist das Ergebnis:

\documentclass[border=2mm,12pt,tikz]{standalone}
\usepackage{tikz-3dplot}
\usetikzlibrary{fpu}
\def\pgfmathsetmacroFPU#1#2{\begingroup% 
\pgfkeys{/pgf/fpu,/pgf/fpu/output format=fixed}% 
\pgfmathsetmacro{#1}{#2}% 
\pgfmathsmuggle#1\endgroup}% 
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1/2,declare
    function={a=15;b=15;c=24;R=6;}] 
 \path (0,0,0)  coordinate  (O);
 % compute radius of incircle
 \pgfmathsetmacroFPU{\saux}{(a+b+c)/2}
 \pgfmathsetmacroFPU{\inradius}{sqrt(\saux*(\saux-a)*(\saux-b)*(\saux-c))/\saux}
 % compute height of circle
 \pgfmathsetmacro{\haux}{sqrt(R*R-\inradius*\inradius)}
 % compute angles of triangle
 \pgfmathsetmacro{\alphaaux}{acos((b*b+c*c-a*a)/(2*b*c))}
 \pgfmathsetmacro{\betaaux}{acos((a*a+c*c-b*b)/(2*a*c))}
 \pgfmathsetmacro{\gammaaux}{acos((a*a+b*b-c*c)/(2*a*b))}
 % compute distances from the corners of the triangle to the points where
 % the triangle touches the circle
 \pgfmathsetmacro{\touchA}{(b+c-a)/2}
 \pgfmathsetmacro{\touchB}{(a+c-b)/2}
 \pgfmathsetmacro{\touchC}{(a+b-c)/2}
 \tdplotsetmaincoords{60}{140}
 \begin{scope}[tdplot_main_coords]
  \fill[ball color=gray!10,tdplot_screen_coords] (O)  circle[radius=6]; 
  \path (-\touchA,-\inradius,\haux) coordinate[label=right:$A$](A)
   (\touchB,-\inradius,\haux) coordinate[label=left:$B$](B)
   ({-\touchA+cos(\alphaaux)*b},{-\inradius+sin(\alphaaux)*b},\haux) 
     coordinate[label=right:$C$](C)
   (0,-\inradius,\haux) coordinate (TAB)
   ({-\touchA+cos(\alphaaux)*\touchA},{-\inradius+sin(\alphaaux)*\touchA},\haux)
    coordinate (TAC)
   ({\touchB+cos(180-\betaaux)*\touchB},{-\inradius+sin(180-\betaaux)*\touchB},\haux) 
    coordinate (TBC)
    (0,0,\haux) coordinate (M);
  \draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \begin{scope}[canvas is xy plane at z=\haux]
   \draw[blue,thick] (M) circle[radius=\inradius];
  \end{scope}
  \foreach \X in {A,B,C,M,TAB,TAC,TBC}
  {\fill (\X) circle[radius=3pt];}
 \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

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Antwort2

Mit einigen Berechnungen habe ich diesen Code

\documentclass[border=2mm,12pt,tikz]{standalone}
\usepackage{tikz-3dplot-circleofsphere}
\usepackage{fouriernc}
\begin{document}
\tdplotsetmaincoords{60}{140}
\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords,scale=1/2,line join = round, line cap = round,declare function={R=6;r=4;h=2*sqrt(5); Angle=acos(r/R);}] 
\path 
 (-3, -4,h) coordinate (A)
(12, -4,h) coordinate (B)
(-36/5, 52/5,h)  coordinate (C)
(0,0,h)  coordinate  (I)
(0,0,0)  coordinate  (O)
(0,-4,h)  coordinate  (H)
(-96/25, -28/25, h)  coordinate  (K)
;
\begin{scope}
  \fill[ball color=gray!10,tdplot_screen_coords] (O)  circle (R); 
   \end{scope}
   \begin{scope}[shift={(O)}]
  \tdplotCsDrawLatCircle[blue, thick]{R}{{Angle}}
  \end{scope}
   \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw[dashed] (O) -- (I) -- (H) -- cycle (I) -- (K) -- (O);
  \foreach \p in {A,B,C,I,O,H,K}
  \draw[fill=black] (\p) circle (2.5pt);
  \foreach \p/\g in {A/90,B/-90,C/-90,I/90,O/-90,H/90,K/90}
  \path (\p)+(\g:6mm) node{$\p$};
  \end{tikzpicture}
\end{document}

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Antwort3

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Asymptotische Version mit entfernter Kugelspitze, passend für allgemeines Dreieck:

//
// file tri-tan-sphere.asy
// run "asy -f png -render=4 tri-tan-sphere.asy"
// to get tri-tan-sphere.png
//
import graph3; size(200,0);
currentprojection=orthographic(camera=(-20,-25,27),up=(0.2,0.9,1));
triple f(pair t){return (cos(t.y)*cos(t.x),cos(t.y)*sin(t.x),sin(t.y));}
real R=6, a=15, b=20, c=24,
     rho=(a+b+c)/2,
     r=1/4*sqrt(4*a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2)/rho,
     alpha=2*aTan(r/(rho-a)),
     h=sqrt(R^2-r^2);
triple O,A,B,C,I,At,Bt,Ct;
A=O; B=(c,0,0); C=(b*Cos(alpha),b*Sin(alpha),0);
I=(a*A+b*B+c*C)/2/rho;
transform3 t=shift(Z*h-I); 
A=t*A; B=t*B; C=t*C; I=t*I;
guide3 gt=A--B--C--cycle;
At=B+(rho-b)/a*(C-B); Bt=C+(rho-c)/b*(A-C); Ct=A+(rho-a)/c*(B-A);
surface s=surface(gt);
draw(s,lightyellow+opacity(0.5));
draw(circle(I,r)^^gt,deepblue);
triple[] P={O,A,B,C,I,At,Bt,Ct,};
string[] L={"O","A","B","C","I","A_t","B_t","C_t",};
triple[] T={Z+Y,A-I,B-I,C-I,Z+Y,I-A,I-B,I-C,};
for(int i=0;i<P.length;++i){dot(P[i]); label("$"+L[i]+"$",P[i],2unit(T[i]));}
surface sc=scale3(R)*surface(f,(0,-pi/2),(2pi,acos(r/R)),Spline);
draw(sc,lightgray,meshpen=nullpen,render(merge=true));

Alternativ asy -f html tri-tan-sphere.asy generiert der Befehl tri-tan-sphere.htmlinteraktive 3D-Vektor-WebGL-Grafiken.

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