tikz-3dplot: conos colocados en ángulo en una esfera

Question

Me pregunté: ¿Existe una forma sencilla de transformar la solución?pequeños círculos de una esfera" de @John Kormylo (código a continuación) en conos, colocado en la esfera por los dos ángulos theta y phi?

Sugerencia: vi algunas soluciones de cono aquí; pero creo que no han sido complicados colocados por los dos ángulos esféricos theta y phi.

Pista: quiero hacer este dibujo (con 8 conos):

Probablemente un cono sería suficiente para poder hacer el resto si fuera necesario.

MWE de @JohnKormylo:

\documentclass[margin=5mm, tikz]{standalone}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tikz-3dplot}
\usetikzlibrary{arrows,calc,backgrounds}
\begin{document}

\pgfmathsetmacro{\R}{3} %  
\pgfmathsetmacro{\a}{1.5} %  

\pgfmathsetmacro{\r}{sqrt(\R*\R-\a*\a} %  
%\pgfmathsetmacro{\Alpha}{atan(\r/\a)}   
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos(\a/\R)} %  

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\tdplotsetmaincoords{60}{110}
\begin{tikzpicture}[
tdplot_main_coords,
>=latex, font=\footnotesize,
]

\coordinate[label=$Z$] (Z) at (0,0,0); 


\pgfmathsetmacro{\Teta}{90} %  measured to the z-axis
\pgfmathsetmacro{\Phi}{50} %   measured to the x-axis

\tdplotsetrotatedcoords{50}{90}{0}
\begin{scope}[tdplot_rotated_coords]
  \coordinate[label=$A$] (A) at (0,0,\R); 
  \coordinate[label=$M$] (M) at (0,0,\a); 
  \draw[red, thick] (M) circle[radius=\r];
\end{scope}

\draw[thick] (Z) -- (A);
\draw[red, thick] (Z) -- (M);

% Point P of direction vector p
\pgfmathsetmacro{\xP}{\R*sin(\Teta-\Alpha)*cos(\Phi)} % 
\pgfmathsetmacro{\yP}{\R*sin(\Teta-\Alpha)*sin(\Phi)} % 
\pgfmathsetmacro{\zP}{\R*cos(\Teta-\Alpha)} % 
\coordinate[label=$P$] (P) at (\xP,\yP,\zP); 
\draw[thick] (Z) -- (P);
\draw[->] (M) -- (P);

\path let              
\p0 = (M), % Center
\p1 = (P),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\angle}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\RadiusP}{\Radius/28.4528} % wipe of 'pt' 

% Point Q of direction vector q
\pgfmathsetmacro{\xQ}{\R*sin(\Teta)*cos(\Phi-\Alpha)} % 
\pgfmathsetmacro{\yQ}{\R*sin(\Teta)*sin(\Phi-\Alpha)} % 
\pgfmathsetmacro{\zQ}{\R*cos(\Teta)} % 
\coordinate[label=$Q$] (Q) at (\xQ,\yQ,\zQ); 
\draw[thick] (Z) -- (Q);
\draw[->] (M) -- (Q);

\path let              
\p0 = (M), % Center
\p1 = (Q),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\angle}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\RadiusQ}{\Radius/28.4528} % wipe of 'pt' 

%OLD      
% 3D Small Circle
%\foreach \t in {0,...,360}{
%\pgfmathsetmacro{\rp}{cos(\t)*\r/\RadiusP} %  
%\pgfmathsetmacro{\rq}{sin(\t)*\r/\RadiusQ} %  
%\coordinate[label=$$] (X) at ($(M)+\rp*(P)-\rp*(M)+\rq*(Q)-\rq*(M)$); 
%\draw[red] (X) circle (1pt); 
%}

% Sphere
\begin{scope}[tdplot_screen_coords, on background layer]
\fill[ball color= gray!20, opacity = 0.3] (Z) circle (\R); 
\end{scope}


\begin{scope}[-latex, shift={(Z)}, xshift=0*2.1*\R cm, yshift=0*0.1*\R cm]
\foreach \P/\s/\Pos in {(5,0,0)/x/right, (0,5,0)/y/below, (0,0,5)/z/right} 
\draw[] (0,0,0) -- \P node (\s) [\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};

\node[above=1cm, align=left, font=\normalsize] at (z){Equation of a 3D-circle: \\
$\vec{x}  = \vec{m} + r \cos(t) \cdot \vec{p} + r \sin(t) \cdot \vec{q}
~~\text{(with $t = 0\dots 2\pi$)}$
};
\end{scope}

\end{tikzpicture}
\end{document} 

Answer 1

Esta no es una respuesta completa en el sentido de que lo siguiente no funciona "de fábrica" ​​para ángulos de visión arbitrarios. Las bases de los conos, es decir, los círculos, se dibujan en planos apropiados, donde los respectivos ángulos de rotación se determinan con la macro \RotationAnglesForPlaneWithNormal, que se explicaaquí. La parte complicada es descubrir dónde se unen los límites del cono a los círculos. Esto requiere determinar las intersecciones y distinguir varios casos o un cálculo analítico. La buena noticia es que se pueden inferir los ángulos a partir de las pendientes que tienen los ejes de coordenadas en los planos locales (que se determinan en el alcance con \pgftransformreset), la mala noticia es que una solución totalmente automática requiere un esfuerzo considerable (distinguir más casos) por lo que Simplemente tomé algunas decisiones a mano. Además, el orden 0,1,2,3funciona aquí "por accidente", si cambia demasiado los ángulos de visión, este ya no es el orden apropiado. Sin embargo, para esta configuración funciona. La extraña lista \LstNormalssólo contiene los vértices de un tetraedro, y los obtuve deWikipedia.

\documentclass[tikz,border=3.14mm]{standalone}
\usepackage{tikz-3dplot} 
\usetikzlibrary{intersections}
\newcommand{\RotationAnglesForPlaneWithNormal}[5]{%\typeout{N=(#1,#2,#3)}
    \pgfmathtruncatemacro{\itest}{ifthenelse(abs(#3)==1,0,1)}
    \ifnum\itest=0
            \xdef#4{0}   
            \xdef#5{0}
    \else
    \foreach \XS in {1,-1}
    {\foreach \YS in {1,-1}
        {\pgfmathsetmacro{\mybeta}{\XS*acos(#3)} 
            \pgfmathsetmacro{\myalpha}{\YS*acos(#1/sin(\mybeta))} 
            \pgfmathsetmacro{\ntest}{abs(cos(\myalpha)*sin(\mybeta)-#1)%
                +abs(sin(\myalpha)*sin(\mybeta)-#2)+abs(cos(\mybeta)-#3)}
            \ifdim\ntest pt<0.1pt
            \xdef#4{\myalpha}   
            \xdef#5{\mybeta}
            \fi
    }}
    \fi
} 
\begin{document}
\tdplotsetmaincoords{110}{60}
\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords]
\xdef\LstNormals{{{sqrt(8/9), 0, -1/3},%
{-sqrt(2/9), sqrt(2/3), -1/3},%
{-sqrt(2/9), -sqrt(2/3), -1/3},%
{0, 0, 1}}}
\pgfmathsetmacro{\R}{3} %  
\pgfmathsetmacro{\a}{1.5} %  
\pgfmathsetmacro{\r}{sqrt(\R*\R-\a*\a} %  
 \path (0,0,0) coordinate (O);
 \foreach \myind in {0,1,2,3}
 {\pgfmathsetmacro{\myNx}{\LstNormals[\myind][0]}
  \pgfmathsetmacro{\myNy}{\LstNormals[\myind][1]}
  \pgfmathsetmacro{\myNz}{\LstNormals[\myind][2]}
  \RotationAnglesForPlaneWithNormal{\myNx}{\myNy}{\myNz}{\tmpalpha}{\tmpbeta} 
  \typeout{\myNx,\tmpalpha,\tmpbeta}
  \tdplotsetrotatedcoords{\tmpalpha}{\tmpbeta}{0}
  \begin{scope}[tdplot_rotated_coords,canvas is xy plane at z=\r,local bounding
  box=loc]
   \path[name path=circle] (0,0) circle[radius=\a];
   \path[overlay,name path=test] (0,0) -- (O);
   \path (1,0) coordinate (Xloc) (0,1) coordinate (Yloc) (0,0) coordinate (Oloc);
   \begin{scope}
   \pgftransformreset
   \path let \p1=($(Xloc)-(Oloc)$),\p2=($(Yloc)-(Oloc)$),
   \n1={atan2(\y1,\x1)},\n2={atan2(\y2,\x2)}
   in (Xloc) -- (Oloc) -- (Yloc) (Oloc) node{\myind}
   \pgfextra{\xdef\myxi{\n1}\xdef\myeta{\n2}};
   \end{scope}
   \path[name intersections={of=circle and test,total=\iNum}]
   \pgfextra{\xdef\iNum{\iNum}};
   \ifnum\iNum>0
    \ifnum\myind=1
    \draw[fill=blue] (-\myxi+90:\a) -- (O) -- (-\myeta-90:\a);
    \else
    \draw[fill=blue] (-\myxi+90:\a) -- (O) -- (-\myxi-90:\a);
    \fi
    \draw[fill=blue!30](0,0) circle[radius=\a];
   \else
    \draw[fill=blue](0,0) circle[radius=\a];
   \fi
  \end{scope}
 }
 \path[ball color=gray,opacity=0.2,tdplot_screen_coords] (O) circle[radius=\R];
\end{tikzpicture}
\end{document}

Alternativa: Uno puede dejar que TikZ encuentra numéricamente el contorno, veraquí.

\documentclass[tikz,border=3.14mm]{standalone}
\usepackage{tikz-3dplot} 
\usetikzlibrary{intersections}
\newcommand{\RotationAnglesForPlaneWithNormal}[5]{%\typeout{N=(#1,#2,#3)}
    \pgfmathtruncatemacro{\itest}{ifthenelse(abs(#3)==1,0,1)}
    \ifnum\itest=0
            \xdef#4{0}   
            \xdef#5{0}
    \else
    \foreach \XS in {1,-1}
    {\foreach \YS in {1,-1}
        {\pgfmathsetmacro{\mybeta}{\XS*acos(#3)} 
            \pgfmathsetmacro{\myalpha}{\YS*acos(#1/sin(\mybeta))} 
            \pgfmathsetmacro{\ntest}{abs(cos(\myalpha)*sin(\mybeta)-#1)%
                +abs(sin(\myalpha)*sin(\mybeta)-#2)+abs(cos(\mybeta)-#3)}
            \ifdim\ntest pt<0.1pt
            \xdef#4{\myalpha}   
            \xdef#5{\mybeta}
            \fi
    }}
    \fi
} 
\begin{document}
\tdplotsetmaincoords{110}{60}
\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords]
\xdef\LstNormals{{{sqrt(8/9), 0, -1/3},%
{-sqrt(2/9), sqrt(2/3), -1/3},%
{-sqrt(2/9), -sqrt(2/3), -1/3},%
{0, 0, 1}}}
\pgfmathsetmacro{\R}{3} %  
\pgfmathsetmacro{\a}{1.5} %  
\pgfmathsetmacro{\r}{sqrt(\R*\R-\a*\a} %  
 \path (0,0,0) coordinate (O);
 \foreach \myind in {0,1,2,3}
 {\pgfmathsetmacro{\myNx}{\LstNormals[\myind][0]}
  \pgfmathsetmacro{\myNy}{\LstNormals[\myind][1]}
  \pgfmathsetmacro{\myNz}{\LstNormals[\myind][2]}
  \RotationAnglesForPlaneWithNormal{\myNx}{\myNy}{\myNz}{\tmpalpha}{\tmpbeta} 
  %\typeout{\myNx,\tmpalpha,\tmpbeta}
  \tdplotsetrotatedcoords{\tmpalpha}{\tmpbeta}{0}
  \begin{scope}[tdplot_rotated_coords,canvas is xy plane at z=\r,local bounding
  box=loc]
   \path[name path=circle] (0,0) circle[radius=\a];
   \path[overlay,name path=test] (0,0) -- (O);
   \path (1,0) coordinate (Xloc) (0,1) coordinate (Yloc) (0,0) coordinate (Oloc);
   \path[name intersections={of=circle and test,total=\iNum}]
   \pgfextra{\xdef\iNum{\iNum}};
   \ifnum\iNum>0
    \begin{scope}
     \pgftransformreset 
     \path let \p1=($(Oloc)-(O)$),\n1={mod(720+atan2(\y1,\x1),360)} in
      \pgfextra{\xdef\oldmax{\n1}\xdef\oldmin{\n1}};
    \end{scope}
    \typeout{\myind,\oldmax}
    \foreach \XX in {0,1,...,359}       
    {\path ($(\XX:\r)-(O)$) coordinate (aux1) ($(\XX:\r)-(Oloc)$) coordinate
    (aux2);
    \pgftransformreset
    \path let \p1=(aux1),%\p2=(aux2),
    \n1={atan2(\y1,\x1)} in
    \pgfextra{\pgfmathtruncatemacro{\itest}{ifthenelse(sin(\n1-\oldmin)<0,0,1)}
     \ifnum\itest=0
     \xdef\oldmin{\n1}
     \xdef\oldanA{\XX}
     \fi
     \pgfmathtruncatemacro{\itest}{ifthenelse(sin(\oldmax-\n1)<0,0,1)}
     \ifnum\itest=0
     \xdef\oldmax{\n1}
     \xdef\oldanB{\XX}
     \fi};
     }
    \draw[fill=blue] (\oldanA:\a) -- (O) -- (\oldanB:\a);
    \draw[fill=blue!30](0,0) circle[radius=\a];
   \else
    %\message{\myind: no intersections}
    \draw[fill=blue](0,0) circle[radius=\a];    
   \fi
  \end{scope}
 }
 \path[ball color=gray,opacity=0.4,tdplot_screen_coords] (O) circle[radius=\R];
\end{tikzpicture}
\end{document}