Crear un gráfico de movimiento browniano con muchas trayectorias, incluido el valor esperado

Question

Estoy intentando replicar el diagrama de movimiento browniano que se encuentra en la portada del libro de texto de Bernt Øksendal.Ecuaciones diferenciales estocásticasutilizando látex.

Estoy un poco perdido en la codificación. No se necesitan matemáticas. He buscado un tema similar (Movimiento browniano - duplicado), pero ninguno de ellos tenía una línea E[X_t] en la trama. Además, no estaba seguro de cómo corregir las trayectorias del movimiento browniano (ya que algunas de ellas se vuelven negativas, a diferencia del gráfico de portada del libro de texto) y el etiquetado de los ejes x e y.

Mi intento

    \documentclass[12pt, a4paper]{article} %uploading the libraries
    \usepackage{pgfplots, pgfplotstable}
    \usepackage[font=small,labelfont=bf,labelsep=colon]{caption}
    \begin{document}
    \pgfmathsetseed{5}
    % creating the Brownian motion trajectories
    \pgfplotstablenew[
        create on use/randwalk1/.style={
            create col/expr accum={\pgfmathaccuma + 0.1*rand}{0}
        },
        create on use/randwalk2/.style={
            create col/expr accum={\pgfmathaccuma + 0.1*rand}{0}
        },
        create on use/randwalk3/.style={
            create col/expr accum={\pgfmathaccuma + 0.1*rand}{0}
        },
        create on use/randwalk4/.style={
            create col/expr accum={\pgfmathaccuma + 0.1*rand}{0}
        },
        create on use/randwalk5/.style={
            create col/expr accum={\pgfmathaccuma + 0.1*rand}{0}
        },
        columns={randwalk1,randwalk2,randwalk3,randwalk4,randwalk5}
    ]
    {700}
    % adjusting the plot axes and titles
    \loadedtable
    \begin{figure}[H]
    \caption{Brownian Motion}
    \centering 
    \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[
    legend pos=outer north east,
    axis y line=left, 
    axis x line=middle,
    xlabel= {\scriptsize $t$},
    ylabel = {\scriptsize $X_{t}$},
    ylabel style = {yshift=-12pt},
    xticklabels={,,},
    yticklabels={,,},
    tick style={draw=none},
    line join=bevel,
    no markers,
    table/x expr={\coordindex/100},
    xmin=0,
    ymin=-0.5, ymax=3,
    enlarge x limits=false
   % now, putting it all together
    ]
    \addplot table [y expr={max(\thisrow{randwalk1},-5.0)}] {\loadedtable};
    \addplot table [y expr={min(\thisrow{randwalk2},5.0)}] {\loadedtable};
    \addplot table [y expr={min(\thisrow{randwalk3},5.0)}] {\loadedtable};
    \addplot table [y expr={min(\thisrow{randwalk4},5.0)}] {\loadedtable};
    \addplot table [y expr=\thisrow{randwalk5}] {\loadedtable};
    \draw (axis cs:5,5) (axis cs:5,-5);
    \legend {{\footnotesize $X_t(\omega_1)$}, {\footnotesize $X_t(\omega_2)$}, {\footnotesize  $X_t(\omega_3)$},{\footnotesize  $X_t(\omega_4)$},{\footnotesize  $X_t(\omega_5)$}};
    \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \end{figure}
    \end{document}

Answer 1

La cuestión es que randgenera pgfun valor aleatorio distribuido uniformemente [-1,1]y no un valor aleatorio normal. Entonces, el siguiente código no traza un GBM, estrictamente hablando. Pero se parece a un diagrama de GBM. Puedes ver que también agregué cierta desviación 0.003en el exponente para hacer que las trayectorias tengan más probabilidades de aumentar de manera similar a la figura original. Y como randes uniforme, calculé E(exp(0.003+0.1*rand))=exp(0.003)*5*(exp(0.1)-exp(-0.1))y utilicé esta expresión para trazar la expectativa.

\documentclass[12pt, a4paper]{article} %uploading the libraries
\usepackage{pgfplots, pgfplotstable}
\usepackage[font=small,labelfont=bf,labelsep=colon]{caption}
\begin{document}
\pgfmathsetseed{5}
% creating the Brownian motion trajectories
\pgfplotstablenew[
    create on use/randwalk1/.style={
      create col/expr accum={\pgfmathaccuma * exp(0.003+0.1*rand)}{1}
    },
    create on use/randwalk2/.style={
      create col/expr accum={\pgfmathaccuma * exp(0.003+0.1*rand)}{1}
    },
    create on use/randwalk3/.style={
      create col/expr accum={\pgfmathaccuma * exp(0.003+0.1*rand)}{1}
    },
    create on use/randwalk4/.style={
      create col/expr accum={\pgfmathaccuma * exp(0.003+0.1*rand)}{1}
    },
    create on use/randwalk5/.style={
      create col/expr accum={\pgfmathaccuma * exp(0.003+0.1*rand)}{1}
    },
    create on use/expectation/.style={
      create col/expr accum={\pgfmathaccuma * exp(0.003)*5*(exp(0.1)-exp(-0.1))}{1}
    },
    columns={randwalk1,randwalk2,randwalk3,randwalk4,randwalk5,expectation}
]
{700}
% adjusting the plot axes and titles
\loadedtable
\begin{figure}[h]
\caption{Brownian Motion}
\centering 
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
legend pos=outer north east,
axis y line=left, 
axis x line=middle,
xlabel={\scriptsize $t$},
ylabel={\scriptsize $X_{t}$},
ylabel style={yshift=-12pt},
xticklabels={,,},
yticklabels={,,},
tick style={draw=none},
line join=bevel,
no markers,
table/x expr={\coordindex/100},
xmin=0,
ymin=0,
enlarge x limits=false
]
\addplot table [y expr=\thisrow{randwalk1}] {\loadedtable};
\addplot table [y expr=\thisrow{randwalk2}] {\loadedtable};
\addplot table [y expr=\thisrow{randwalk3}] {\loadedtable};
\addplot table [y expr=\thisrow{randwalk4}] {\loadedtable};
\addplot table [y expr=\thisrow{randwalk5}] {\loadedtable};
\addplot table [y expr=\thisrow{expectation}] {\loadedtable};
\draw (axis cs:5,5) (axis cs:5,-5);
\legend {{\footnotesize $X_t(\omega_1)$},
         {\footnotesize $X_t(\omega_2)$},
         {\footnotesize $X_t(\omega_3)$},
         {\footnotesize $X_t(\omega_4)$},
         {\footnotesize $X_t(\omega_5)$},
         {\footnotesize $E[X_t]$}};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{figure}
\end{document}