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Espaçamento vertical inconsistente usando cabeçalhos de seção

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Espaçamento vertical inconsistente usando cabeçalhos de seção

Na semana passada li um pequeno artigo sobre LaTeX e agora estou escrevendo meu primeiro documento. Pesquisei no Google e resolvi a maioria dos problemas, mas não encontrei nenhuma resposta funcional para este. É para uma tarefa de matemática e eu só quero escrever muita matemática com alguns comentários \text{} em cada solução para que meu documento fique assim:

\documentclass[11pt,twoside,a4paper,fleqn]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[swedish, english]{babel}
\usepackage{mathtools} 
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\usepackage[nodisplayskipstretch]{setspace}
\setstretch{1.5}
\lhead{Fredrik \qquad 2/5-2015}
\rhead{Inlämningsuppgift 2}
\setlength{\oddsidemargin}{15.5pt}
\setlength{\evensidemargin}{15.5pt}
\setlength{\headheight}{14pt}
\begin{document}
\section*{Uppgift 2.1}
\begin{equation*}
\begin{split}
& u(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} \\
& u_{1}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad
u_{2}=\frac{2y}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\
& \nabla u(1,1)=\frac{1}{\sqrt{2}}i+\frac{1}{\sqrt{2}}j, \quad
|\nabla u|=\sqrt{\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) ^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1 \\
& v(x,y)=x+y+2\sqrt{xy} \\
& v_{1}=1+\frac{2y}{2\sqrt{xy}}=1+\frac{y}{\sqrt{xy}}, \quad
v_{2}=1+\frac{2x}{2\sqrt{xy}}=1+\frac{x}{\sqrt{xy}} \\
& \nabla v(1,1)=2i+2j, \quad
|\nabla v|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2} \\
& \text{Grader } \theta \text{ mellan \textbf{u} och \textbf{v}:} \\ 
& \theta = \arccos \frac{u\bullet v}{|u||v|} \\
& \theta = \arccos \left( \frac{\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}} \right)=\arccos \left(\frac{4}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} \right)=\arccos(1)=0
\end{split} 
\end{equation*}

\section*{Uppgift 2.2}
\begin{equation*}
\begin{split}
& r=a+b, \quad |r|=\sqrt{a^2+b^2}, \quad \nabla r=ai+bj \\
& u=\sin \left( \sqrt{a^2+b^2} \right), \quad u_{1}=\frac{a \cdot \cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) }{2\sqrt{a^2+b^2}}, \quad u_{2}=\frac{b \cdot \cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) }{2\sqrt{a^2+b^2}} \\
& \nabla u=\frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)}{\sqrt{a^2+b^2}}\left(ai+bj \right) \\
& \frac{ai+bj}{\sqrt{a^2+b^2}}\bullet \frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)}{\sqrt{a^2+b^2}}(ai+bj)=\frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)\cdot a^2}{a^2+b^2}+\frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)\cdot b^2}{a^2+b^2}= \\
& \frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)\cdot (a^2+b^2)}{a^2+b^2}= \cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)=\cos (r)
\end{split}
\end{equation*}

\section*{Uppgift 2.3}
\begin{equation*}
\begin{split}
& z(x,y)=6x^2 y^3-6x^2-9y^2+1, \quad \nabla z=(12xy^3-12x, 18x^2 y^2-18y)\\
& \text{Letar efter nollställen}\\
& 12x(y^3-1)=0, \quad y=0, \quad x=0 \qquad \ \text{ger } (0,0)\\
& 18y(x^2y-1)=0, \quad y=0, \quad x=\pm 1 \quad \text{ger } (1,1) \text{ och } (-1,1)\\
& z_{xx}=12y^3-12, \quad z_{xy}=z_{yx}=36xy^2, \quad z_{yy}=36x^2y-8\\
& \mathcal{H}=
\begin{bmatrix}
z_{xx} & z_{xy}\\
z_{yx} & z_{yy}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
12y^3-12 & 36xy^2\\
36xy^2 & 36x^2 y-18
\end{bmatrix} \\
& (0,0): \mathcal{H} =
\begin{bmatrix}
-12 & 0\\
0 & -18
\end{bmatrix}
\quad det(\mathcal{H})=(-12)\cdot(-18)-0=126 \\
& \begin{rcases}
det(\mathcal{H}) & > 0\\
f_{xx} & < 0
\end{rcases}
\text{Maxpunkt} \\
& (1,1): \mathcal{H} =
\begin{bmatrix}
0 & 36\\
36 & 18
\end{bmatrix}
\quad det(\mathcal{H})=0-36 \cdot 36=-1296 
&&\quad det(\mathcal{H}) < 0 \\
& (-1,1): \mathcal{H} =
\begin{bmatrix}
0 & -36\\
-36 & 18
\end{bmatrix}
\quad det(\mathcal{H})=0-(-36) \cdot (-36)=-1296
&&\quad det(\mathcal{H}) < 0 
\end{split}
\end{equation*}

\section*{Uppgift 2.4}
\begin{equation*}
\begin{split}
& f(x,y)=2x+8y-x^2-4y^2-4, \quad \nabla f=(2-2x, 8-8y) \\
& (1,1): \quad
\begin{rcases}
f_{xx} & =-2 \\
det(\mathcal{H})& =16
\end{rcases}
\text{maxpunkt}
\end{split}
\end{equation*}

\section*{Uppgift 2.5}
\begin{equation*}
\begin{split}
& f(x,y)=\sqrt{2x^2+3y^2+4} \\
& 000\text{Första delen}000 \\
& f_1 = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}, \quad
f_2 = \frac{6y}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}, \quad 
f_{12}=f_{21}=\frac{-2x6y}{\left( \sqrt{2x^2+3y^2+4} \right)^2} \\
\\
& f_{11} = \frac{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}-\frac{2x\cdot 4x}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}}{\left( 2\sqrt{2x^2+3y^2+4} \right)^2}, \quad
f_{22}= \frac{3\sqrt{2x^2+3y^2+4}-\frac{3y\cdot 6y}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}}{\left( 2\sqrt{2x^2+3y^2+4} \right)^2} \\ \\
& \text{Kollar värden för derivatorna i punkten $(0,0)$} \\
& f_1=\frac{0}{2}=0, \quad f_2=\frac{0}{2}=0, \quad f_{12}=0, \quad 
f_{11}=\frac{2\cdot 2-0}{4}=1, \quad f_{22}=\frac{3\cdot 2-0}{4}=\frac{3}{2} \\
& P_2(x,y)= f(a,b)+f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b)+\frac{1}{2} \left( f_{11}(x-a)^2+f_{22}(y-b)^2+2f_{12}(x-a)(y-b)\right) \\
\end{split}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{split}
& P_2(x,y)=2+0x+0y+\frac{1}{2}(x-0)^2+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}(y-0)^2+\frac{1}{2}\cdot2\cdot0(x-0)(y-0)=2+\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{4}y^2 \\
& P_2(0,1;0,1)=2+\frac{1}{2}(0,1)^2+\frac{3}{4}(0,1)^2=2+\frac{1}{200}+\frac{3}{400}=\frac{805}{400}=2,0125 \\
& f(0,1;0,1)=\sqrt{2(0,1)^2+3(0,1)^2+4}=\sqrt{\frac{2}{100}+\frac{3}{100}+4}=\sqrt{\frac{405}{100}}=2,01246 \\
\end{split}
\end{equation*}

\section*{Uppgift 2.6}
\begin{equation*}
\begin{split}
& f(x,y)=2x+y, \quad g(x,y)=x^2+y^2-5=0 \\
& L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)=2x+y+\lambda (x^2+y^2-5) \\
& \frac{\partial L}{\partial x}=2+2x\lambda, \quad
\frac{\partial L}{\partial y}=1+2y\lambda, \quad
\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x^2+y^2-5 \\
& \text{Söker efter nollställen genom att sätta derivatorna lika med 0} \\
& \begin{rcases} & \frac{\partial L}{\partial x}= 0=2(1+x\lambda) \Rightarrow \lambda=-\frac{1}{x}  \\
& \frac{\partial L}{\partial y}=0=1+2y\lambda \Rightarrow \lambda =-\frac{1}{2y} 
\end{rcases} \Rightarrow
-\frac{1}{x}=-\frac{1}{2y} \Rightarrow 2y=x \Rightarrow y=\frac{x}{2} \\
& \text{Sätter in resultatet i $\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$} \\
& 0=y^2+x^2-5 \Rightarrow \frac{x^2}{4}+x^2-5=0 \Rightarrow 0=5x^2-20 \Rightarrow 
4=x^2 \Rightarrow x=\pm 2 \\
& \text{Det ger} \\
& y=\frac{\pm2}{2}=\pm1 \text{ och } \lambda=\pm \frac{1}{2} \\
& \text{Ur det får vi punkterna $(2,1)$ och $(-2,-1)$ vilket ger} \\
& f(2,1)=4+1=5 \quad \text{och} \quad f(-2,-1)=-4-1=-5 \\
\end{split}
\end{equation*}

\end{document}

Isso me dá uma saída onde o espaçamento acima e abaixo dos títulos das seções é diferente (eles também recuam de forma diferente, mas isso não é tão importante):

parte da saída do pdf

Responder1

Aqui está uma solução. Simplifiquei um pouco seu código com o geometrypacote e melhorei a formatação dos números decimais comsiunitx

\documentclass[11pt, twoside, a4paper, fleqn]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[swedish,english]{babel}%
\usepackage[showframe, nomarginpar, headheight=14pt, hmargin=30mm]{geometry}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\usepackage[nodisplayskipstretch]{setspace}
\setstretch{1.5}
\lhead{Fredrik \qquad 2/5-2015}
\rhead{Inlämningsuppgift 2}
\usepackage{siunitx}
\sisetup{input-decimal-markers={,},output-decimal-marker={,}}
\raggedbottom
\allowdisplaybreaks


\begin{document}

\section*{Uppgift 2.1}

\vskip-\abovedisplayskip
\begin{align*}
    & u(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} \\
    & u_{1}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad
  u_{2}=\frac{2y}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\
    & \nabla u(1,1)=\frac{1}{\sqrt{2}}i+\frac{1}{\sqrt{2}}j, \quad
  |\nabla u|=\sqrt{\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) ^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1 \\
    & v(x,y)=x+y+2\sqrt{xy} \\
    & v_{1}=1+\frac{2y}{2\sqrt{xy}}=1+\frac{y}{\sqrt{xy}}, \quad
  v_{2}=1+\frac{2x}{2\sqrt{xy}}=1+\frac{x}{\sqrt{xy}} \\
    & \nabla v(1,1)=2i+2j, \quad
  |\nabla v|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2} \\
    & \text{Grader } \theta \text{ mellan \textbf{u} och \textbf{v}:} \\
    & \theta = \arccos \frac{u\bullet v}{|u||v|} \\
    & \theta = \arccos \left( \frac{\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}} \right)=\arccos \left(\frac{4}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} \right)=\arccos(1)=0
\end{align*}

\section*{Uppgift 2.2}

\vskip-\abovedisplayskip
\begin{align*}
    & r=a+b, \quad |r|=\sqrt{a^2+b^2}, \quad \nabla r=ai+bj \\
    & u=\sin \left( \sqrt{a^2+b^2} \right), \quad u_{1}=\frac{a \cdot \cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) }{2\sqrt{a^2+b^2}}, \quad u_{2}=\frac{b \cdot \cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) }{2\sqrt{a^2+b^2}} \\
    & \nabla u=\frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)}{\sqrt{a^2+b^2}}\left(ai+bj \right) \\
    & \frac{ai+bj}{\sqrt{a^2+b^2}}\bullet \frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)}{\sqrt{a^2+b^2}}(ai+bj)=\frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) \cdot a^2}{a^2+b^2}+\frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) \cdot b^2}{a^2+b^2} \\
    & \qquad = \frac{\cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right) \cdot (a^2+b^2)}{a^2+b^2}= \cos \left( \sqrt{a^2+b^2} \right)=\cos (r)
\end{align*}

\section*{Uppgift 2.3}

\vskip-\abovedisplayskip
\begin{alignat*}{2}
  & z(x,y)=6x^2 y^3-6x^2-9y^2+1, \quad \nabla z=(12xy^3-12x, 18x^2 y^2-18y)\\
  & \text{Letar efter nollställen}\\
  & 12x(y^3-1)=0, \quad y=0, \quad x=0 \qquad \ \text{ger } (0,0)\\
  & 18y(x^2y-1)=0, \quad y=0, \quad x=\pm 1 \quad \text{ger } (1,1) \text{ och } (-1,1)\\
  & z_{xx}=12y^3-12, \quad z_{xy}=z_{yx}=36xy^2, \quad z_{yy}=36x^2y-8\\
  & \mathcal{H}=
  \begin{bmatrix}
  z_{xx} & z_{xy}\\
  z_{yx} & z_{yy}
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
  12y^3-12 & 36xy^2\\
  36xy^2 & 36x^2 y-18
  \end{bmatrix} \\
  & (0,0): \mathcal{H} =
  \begin{bmatrix}
  -12 & 0\\
  0 & -18
  \end{bmatrix}
  \quad \det(\mathcal{H})=(-12) \cdot (-18)-0=126 \\
  & \begin{rcases}
  \det(\mathcal{H}) & > 0\\
  f_{xx} & < 0
  \end{rcases}
  \text{Maxpunkt} \\
  & (1,1): \mathcal{H} =
  \begin{bmatrix}
  0 & 36\\
  36 & 18
  \end{bmatrix}
  \quad \det(\mathcal{H})=0-36 \cdot 36=-1296
    & & \det(\mathcal{H}) < 0 \\
  & (-1,1): \mathcal{H} =
  \begin{bmatrix}
  0 & -36\\
  -36 & 18
  \end{bmatrix}
  \quad \det(\mathcal{H})=0-(-36) \cdot (-36)=-1296
    & \enspace & \det(\mathcal{H}) < 0
\end{alignat*}

\section*{Uppgift 2.4}

\vskip-\abovedisplayskip
\begin{align*}
                    & f(x,y)=2x+8y-x^2-4y^2-4, \quad \nabla f=(2-2x, 8-8y) \\
                    & (1,1): \quad
  \begin{rcases}
  f_{xx} & =-2 \\
  \det(\mathcal{H}) & =16
  \end{rcases}
  \text{maxpunkt}
\end{align*}

\section*{Uppgift 2.5}

\vskip-\abovedisplayskip
\begin{align*}
  & f(x,y)=\sqrt{2x^2+3y^2+4} \\
  & 000\text{Första delen}000 \\
  & f_1 = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}, \quad f_2 = \frac{6y}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}, \quad
  f_{12}=f_{21}=\frac{-2x6y}{\left( \sqrt{2x^2+3y^2+4} \right)^2} \\
  \\
  & f_{11} = \frac{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}-\frac{2x \cdot 4x}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}}{\left( 2\sqrt{2x^2+3y^2+4} \right)^2}, \quad
  f_{22}= \frac{3\sqrt{2x^2+3y^2+4}-\frac{3y \cdot 6y}{2\sqrt{2x^2+3y^2+4}}}{\left( 2\sqrt{2x^2+3y^2+4} \right)^2} \\ \\
  & \text{Kollar värden för derivatorna i punkten $(0,0)$} \\
  & f_1=\frac{0}{2}=0, \quad f_2=\frac{0}{2}=0, \quad f_{12}=0, \quad
  f_{11}=\frac{2 \cdot 2-0}{4}=1, \quad f_{22}=\frac{3 \cdot 2-0}{4}=\frac{3}{2} \\
    & \!\begin{aligned} P_2(x,y)= f(a,b) & +f_1(a,b)(x-a) +f_2(a,b)(y-b) \\
  & +\frac{1}{2} \left( f_{11}(x-a)^2+f_{22}(y-b)^2+2f_{12}(x-a)(y-b)\right)
  \end{aligned}\\[1ex]
    & \!\begin{aligned} P_2(x,y) & =2+0x+0y+\frac{1}{2}(x-0)^2+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}(y-0)^2+\frac{1}{2}\cdot2\cdot0(x-0)(y-0) \\
  & =2+\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{4}y^2 \end{aligned}\\
  & P_2(\num{0,1};\num{0,1})=2+\frac{1}{2}(\num{0,1})^2+\frac{3}{4}(\num{0,1})^2=2+\frac{1}{200}+\frac{3}{400}=\frac{805}{400}=\num{2,0125} \\
  & f(\num{0,1};\num{0,1})=\sqrt{2(0,1)^2+3(\num{0,1})^2+4}=\sqrt{\frac{2}{100}+\frac{3}{100}+4}=\sqrt{\frac{405}{100}}=\num{2,01246} \end{align*}

  \section*{Uppgift 2.6}%

  \vskip-\abovedisplayskip
  \begin{align*}
  & f(x,y)=2x+y, \quad g(x,y)=x^2+y^2-5=0 \\
  & L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)=2x+y+\lambda (x^2+y^2-5) \\
  & \frac{\partial L}{\partial x}=2+2x\lambda, \quad
  \frac{\partial L}{\partial y}=1+2y\lambda, \quad
  \frac{\partial L}{\partial \lambda}=x^2+y^2-5 \\
  & \text{Söker efter nollställen genom att sätta derivatorna lika med 0} \\
    & \begin{drcases} & \frac{\partial L}{\partial x}= 0=2(1+x\lambda) \Rightarrow \lambda=-\frac{1}{x} \\
  & \frac{\partial L}{\partial y}=0=1+2y\lambda \Rightarrow \lambda =-\frac{1}{2y}
  \end{drcases} \Rightarrow
  -\frac{1}{x}=-\frac{1}{2y} \Rightarrow 2y=x \Rightarrow y=\frac{x}{2} \\
  & \text{Sätter in resultatet i $\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$} \\
  & 0=y^2+x^2-5 \Rightarrow \frac{x^2}{4}+x^2-5=0 \Rightarrow 0=5x^2-20 \Rightarrow
  4=x^2 \Rightarrow x=\pm 2 \\
  & \text{Det ger} \\
  & y=\frac{\pm2}{2}=\pm1 \text{ och } \lambda=\pm \frac{1}{2} \\
  & \text{Ur det får vi punkterna $(2,1)$ och $(-2,-1)$ vilket ger} \\
  & f(2,1)=4+1=5 \quad \text{och} \quad f(-2,-1)=-4-1=-5
\end{align*}

\end{document}

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Responder2

(infelizmente, não posso fornecer um exemplo completo, pois estou tendo problemas com a codificação. mas como o operador está satisfeito com sua saída, darei os detalhes importantes aqui.)

o splitsubambiente, comotodossubambientes, é sempre tratado como uma caixa inquebrável. para se livrar dessa limitação,

  • substituir equation*por align*,
  • remover \begin{split}e \end{split}, e
  • insira \allowdisplaybreaksem seu preâmbulo.

como você iniciou cada linha de exibição com &, isso manterá todas as linhas alinhadas à esquerda.

você ainda terá muitos problemas com linhas mais largas que a largura declarada do texto. verifique cuidadosamente para ter certeza de que nada se perde ao passar pela borda do papel.

possibilidades para quebrar linhas de forma inteligente (e inteligível) são descritas na documentação para amsmathe mathtools.

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