Linhas não tangentes como esperado

Question

Eu tenho dois círculos concêntricos centralizados no Odesenho. Os acordes LMe MNdo círculo maior são tangentes ao círculo menor em Se T. As medidas de angle{SOM}e angle{TOM}são congruentes e medem 80 graus. De acordo com o Teorema da Potência de um Ponto, se o raio do círculo menor for r,,, |OM| = r + xe |MS| = |MT| = y,

y² = x(x + 2r).

Então, se r = 3/4e x = 3/2, y = (3*sqrt{2})/2. Como triangle{LOM}é congruente com triangle{NOM}, OMdivide ao meio angle{M}.

angle{LMO} = angle{SMO} = 180 - (80 + 90) = 10,

e

angle{NMO} = angle{TMO} = 180 - (80 + 90) = 10.

Eu tenho tudo isso codificado no TikZdiagrama a seguir. Por que as cordas não são tangentes ao círculo menor em Se T?

\documentclass{amsart}
\usepackage{tikz}

\usetikzlibrary{calc,intersections}


\begin{document}

\begin{tikzpicture}

%Two concentric circles are drawn.
%
\coordinate (O) at (0,0);
\draw[fill] (O) circle (1.5pt);
\draw (O) circle (3/4);
\draw (O) circle (9/4);
%
\coordinate (S) at (100:3/4);
\draw[fill] (S) circle (1.5pt);
\coordinate (T) at (-100:3/4);
\draw[fill] (T) circle (1.5pt);
%
\coordinate (M) at (-9/4,0);
%
\coordinate (L) at ($(M) +(20:{3*sqrt(2)})$);
\coordinate (N) at ($(M) +(-20:{3*sqrt(2)})$);
%
\draw (M) -- (L);
\draw (M) -- (N);

%The labels for the points are typeset.
\path node[anchor=west, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(O) +(0.15,0)$){$O$};
\path node[anchor=east, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(M) +(-0.15,0)$){$M$};
\path node[anchor={20+180}, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(L) +(20:0.15)$){$L$};
\path node[anchor={-20+180}, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(N) +(-20:0.15)$){$N$};
\path node[anchor={80-180}, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(S) +(80:0.15)$){$S$};
\path node[anchor={-80+180}, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(T) +(-80:0.15)$){$T$};

\end{tikzpicture}

\end{document}

Answer 1

O número mágico inicial 80° para os ângulos SOM e TOM está errado, se você quiser ter tangentes. O ângulo pode ser facilmente calculado olhando para o triângulo OSM com um ângulo ortogonal no ponto tangente S (o resultado é cerca de 70,5°).

Além disso, eu calcularia as coordenadas de L e N como coordenadas polares com origem O. Isso pode ser feito novamente olhando para o triângulo OLS que também possui um ângulo ortogonal no ponto tangente S.

\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}

\pgfmathsetmacro\BigRadius{9/4}
\pgfmathsetmacro\SmallRadius{3/4}
% \Angle is the angle part of the polar coordinate of S with origin O
% 180 - acos(\SmallRadius/\BigRadius} = 109.47102
\pgfmathsetmacro\Angle{180 - acos(1/3)}
\pgfmathsetmacro\AngleTwo{2*\Angle - 180}

% Coordinates
\path
  coordinate (O) at (0, 0)
  coordinate (S) at (\Angle:\SmallRadius)
  coordinate (T) at (-\Angle:\SmallRadius)
  coordinate (M) at (-\BigRadius, 0)
  coordinate (L) at (\AngleTwo:\BigRadius)
  coordinate (N) at (-\AngleTwo:\BigRadius)
;

% Two concentric circles and lines
\draw[line join=bevel]
  (O) circle[radius=\SmallRadius]
  (O) circle[radius=\BigRadius]
  (L) -- (M) -- (N)
;

% Points
\fill[radius=1.5pt]
  \foreach \p in {O, S, T, M, L, N} { (\p) circle[] }
;

% The labels
\path[inner sep=0pt, node font=\footnotesize]
  node[anchor=west] at ($(O) +(0.1,0)$){$O$}
  node[anchor=east] at ($(M) +(-0.15,0)$){$M$}
  node[anchor={\AngleTwo+180}] at ($(L) +(20:0.15)$){$L$}
  node[anchor={-\AngleTwo+180}] at ($(N) +(-20:0.15)$){$N$}
  node[anchor={\Angle-180}] at ($(S) +(80:0.15)$){$S$}
  node[anchor={-\Angle+180}] at ($(T) +(-80:0.15)$){$T$}
;
\end{tikzpicture}
\end{document}

Grande raio e ângulo são dados

O pequeno raio pode ser calculado com o triângulo retângulo MSO. Como o exemplo acima usou macros, apenas as definições de macro para \Anglee \SmallRadiusprecisam ser alteradas:

\def\Angle{100}
\pgfmathsetmacro\BigRadius{9/4}
% \Angle is the angle part of the polar coordinate of S with origin O
% Then the small radius can be calculated:
% \SmallRadius = \BigRadius * cos(180 - \Angle) = 0.3907
\pgfmathsetmacro\SmallRadius{\BigRadius * cos(180 - \Angle)}
\pgfmathsetmacro\AngleTwo{2*\Angle - 180}

Answer 2

Aqui está uma versão editada do código da minha postagem. Corrigi um erro num cálculo que Heiko Oberdiek espiou.

\documentclass{amsart}
\usepackage{tikz}

\usetikzlibrary{calc,intersections}


\begin{document}


\begin{tikzpicture}

%Two concentric circles are drawn. $\angle{LMN}$ is an angle inscribed in the bigger circle; its measure is
%20 degrees. The chords are tangent to the smaller circle at S and T. $\triangle{OSM}$ and $\triangle{OTM}$
%are congruent, right triangles. So, OM bisects $\angle{LMN}$, and $\angle{LMO}$ and $\angle{NMO}$ both
%have measure 10 degrees.
%
%r is the radius of the smaller circle. According to the Law of Sines, |OM| = r/sin(10). By the Pythagorean Theorem,
%|MS| = |MT| = (r/sin(10))sqrt{1-sin^{2}(10)} = r*cot(10).
%
\coordinate (O) at (0,0);
\draw[fill] (O) circle (1.5pt);
\draw (O) circle (1);
\draw (O) circle ({cot(10)});
%
\coordinate (S) at (100:1);
\draw[fill] (S) circle (1.5pt);
\coordinate (T) at (-100:1);
\draw[fill] (T) circle (1.5pt);
%
\coordinate (M) at ({-cot(10)},0);
%
\coordinate (L) at ($(M) +(10:{2*cot(10)})$);
\coordinate (N) at ($(M) +(-10:{2*cot(10)})$);
%
\draw (M) -- (L);
\draw (M) -- (N);

%The labels for the points are typeset.
\path node[anchor=west, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(O) +(0.15,0)$){$O$};
\path node[anchor=east, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(M) +(-0.15,0)$){$M$};
\path let \p1=($(L)-(M)$), \n1={atan(\y1/\x1)} in node[anchor={\n1+180}, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(L) +({\n1}:0.15)$){$L$};
\path let \p1=($(M)-(N)$), \n1={atan(\y1/\x1)} in node[anchor={\n1+180}, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(N) +({\n1}:0.15)$){$N$};
\path node[anchor={80-180}, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(S) +(80:0.15)$){$S$};
\path node[anchor={-80+180}, inner sep=0, font=\footnotesize] at ($(T) +(-80:0.15)$){$T$};

\end{tikzpicture}

\end{document}