Editar:

Question

\begin{equation}

\begin{aligned}
\f(\kappa,\rho,\alpha,\beta_i,X_i;x_i,y_i) & =\dfrac{\exp \big(k cos(x_i-X_i)\big)}{2\pi I_0}\dfrac{(1-\rho^2)}{2\pi\big[1+\rho^2-2\rho \cos(y_i-\alpha-\beta_i X_i)\big]}\\
 & =\dfrac{1}{(2\pi)^2 I_0(\lambda \rho)}\exp \big(k \cos(x_i-X_i)\big)\dfrac{(1-\rho^2)}{(1+\rho^2)}\dfrac{1}{\big[1-\dfrac{2\rho}{(1+\rho^2)} \cos(y_i-\alpha-\beta_i X_i)\big]}\\
 & =\dfrac{1}{(2\pi)^2I_0(\lambda \rho)}\exp \big(k \cos(x_i-X_i)\big)\dfrac{(1-\rho^2)}{(1+\rho^2)}\big[1-\dfrac{2\rho}{(1+\rho^2)}\cos(y_i-\alpha-\beta_i X_i)\big]^{-1}\\
 & =\dfrac{1}{(2\pi)^2I_0(\lambda \rho)} \exp \big(\cos(x_i-X_i)\big)\dfrac{(1-\rho^2)}{(1+\rho^2)}\big[1-\dfrac{2\rho}{(1+\rho^2)}{\cos(y_i-\beta_i X_i) \cos\alpha+\sin(y_i-\beta_i X_i \sin\alpha)}\big]^{-1} 
\end{aligned}

\end{equation}

Onde devo colocar o $?

Answer 1

Você não definiu a macro \f; no código abaixo, defini \figual a apenas f.

Como o termo \frac{\exp\big(k\cos(x_i-X_i)\big)}{(2\pi)^2 I_0}ocorre repetidamente, gostaria de sugerir que você atribua a ele um nome novo e compacto, por exemplo \zeta_i, .

O seguinte pode ser o que você está procurando; observe a quebra de linha extra na linha final.

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\newcommand\f{f} % ??
\begin{document}
Put $\zeta_i= \dfrac{\exp \bigl(k\cos(x_i-X_i)\bigr)}{(2\pi)^2 I_0}$. 
\begin{equation}
\begin{aligned}[b]
\f(\kappa,\rho,\alpha,\beta_i,X_i;x_i,y_i) 
 &= \zeta_i\,\frac{(1-\rho^2)}{\bigl[1+\rho^2-2\rho \cos(y_i-\alpha-\beta_i X_i)\bigr]}\\
 &= \frac{\zeta_i}{\lambda\rho}\,\frac{(1-\rho^2)}{(1+\rho^2)}
    \frac{1}{\bigl[1-\frac{2\rho}{(1+\rho^2)} \cos(y_i-\alpha-\beta_i X_i)\bigr]}\\
 &= \frac{\zeta_i}{\lambda\rho}\,\frac{(1-\rho^2)}{(1+\rho^2)}  
    \bigl[1-\frac{2\rho}{(1+\rho^2)}\cos(y_i-\alpha-\beta_i X_i)\bigr]^{-1}\\
 &= \frac{\zeta_i}{\lambda\rho}\,\frac{(1-\rho^2)}{(1+\rho^2)} 
    \bigl[1-\frac{2\rho}{(1+\rho^2)}\cos(y_i-\beta_i X_i) \cos\alpha\\
 &\qquad\qquad +\sin(y_i-\beta_i X_i \sin\alpha)\bigr]^{-1} 
\end{aligned}
\end{equation}
\end{document}

Answer 2

Mudei um pouco seu código, para algo que pudesse compilar:

\documentclass{standalone}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{mathtools}
\begin{document}
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(\kappa,\rho,\alpha,\beta_i,X_i;x_i,y_i) & =\dfrac{\exp \big(k cos(x_i-X_i)\big)}{2\pi I_0}\dfrac{(1-\rho^2)}{2\pi\big[1+\rho^2-2\rho \cos(y_i-\alpha-\beta_i X_i)\big]}\\
 & =\dfrac{1}{(2\pi)^2 I_0(\lambda \rho)}\exp \big(k \cos(x_i-X_i)\big)\dfrac{(1-\rho^2)}{(1+\rho^2)}\dfrac{1}{\big[1-\dfrac{2\rho}{(1+\rho^2)} \cos(y_i-\alpha-\beta_i X_i)\big]}\\
 & =\dfrac{1}{(2\pi)^2I_0(\lambda \rho)}\exp \big(k \cos(x_i-X_i)\big)\dfrac{(1-\rho^2)}{(1+\rho^2)}\big[1-\dfrac{2\rho}{(1+\rho^2)}\cos(y_i-\alpha-\beta_i X_i)\big]^{-1}\\
 & =\dfrac{1}{(2\pi)^2I_0(\lambda \rho)} \exp \big(\cos(x_i-X_i)\big)\dfrac{(1-\rho^2)}{(1+\rho^2)}\big[1-\dfrac{2\rho}{(1+\rho^2)}{\cos(y_i-\beta_i X_i) \cos\alpha+\sin(y_i-\beta_i X_i \sin\alpha)}\big]^{-1} \end{aligned}
\end{equation}
\end{document}

Isso produz:

Eu removi as linhas em branco que você tinha dentro do alignedambiente, e o\f

Se você realmente deseja linhas em branco, você precisa marcá-las com sinais de porcentagem:

\documentclass{standalone}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{mathtools}
\begin{document}
\begin{equation}
\begin{aligned}
%    
f(\kappa,\rho,\alpha,\beta_i,X_i;x_i,y_i) & =\dfrac{\exp \big(k cos(x_i-X_i)\big)}{2\pi I_0}\dfrac{(1-\rho^2)}{2\pi\big[1+\rho^2-2\rho \cos(y_i-\alpha-\beta_i X_i)\big]}\\
 & =\dfrac{1}{(2\pi)^2 I_0(\lambda \rho)}\exp \big(k \cos(x_i-X_i)\big)\dfrac{(1-\rho^2)}{(1+\rho^2)}\dfrac{1}{\big[1-\dfrac{2\rho}{(1+\rho^2)} \cos(y_i-\alpha-\beta_i X_i)\big]}\\
 & =\dfrac{1}{(2\pi)^2I_0(\lambda \rho)}\exp \big(k \cos(x_i-X_i)\big)\dfrac{(1-\rho^2)}{(1+\rho^2)}\big[1-\dfrac{2\rho}{(1+\rho^2)}\cos(y_i-\alpha-\beta_i X_i)\big]^{-1}\\
 & =\dfrac{1}{(2\pi)^2I_0(\lambda \rho)} \exp \big(\cos(x_i-X_i)\big)\dfrac{(1-\rho^2)}{(1+\rho^2)}\big[1-\dfrac{2\rho}{(1+\rho^2)}{\cos(y_i-\beta_i X_i) \cos\alpha+\sin(y_i-\beta_i X_i \sin\alpha)}\big]^{-1}     
%
\end{aligned}
\end{equation}
\end{document}

Editar:

Compilei originalmente o código acima na memoirclasse, mas a matemática era muito ampla, por isso mudei para standalone. Na standaloneaula eu recebo um erro, mas esse erro não está presente nas memórias e o documento ainda é compilado na imagem mostrada