Eu gostaria de desenhar:
Para desenhar o toro acima, usei os seguintes códigos:
\documentclass[margin=2mm,tikz]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\begin{document}
%Oberflächenproblem
\begin{tikzpicture}[rotate=180]
%Torus
\draw (0,0) ellipse (1.6 and .9);
%Hole
\begin{scope}[scale=.8]
\path[rounded corners=24pt] (-.9,0)--(0,.6)--(.9,0) (-.9,0)--(0,-.56)--(.9,0);
\draw[rounded corners=28pt] (-1.1,.1)--(0,-.6)--(1.1,.1);
\draw[rounded corners=24pt] (-.9,0)--(0,.6)--(.9,0);
\end{scope}
%Cut 1
\draw[densely dashed] (0,-.9) arc (270:90:.2 and .365);
\draw (0,-.9) arc (-90:90:.2 and .365);
%Cut 2
\draw (0,.9) arc (90:270:.2 and .348);
\draw[densely dashed] (0,.9) arc (90:-90:.2 and .348);
\end{tikzpicture}
\end{document}
Produz:
Isto não é o mesmo que eu quero. Como posso fazer o toro desejado?
Responder1
A questão decomo desenhar um toro com TikZé bastante antigo e tem várias respostas excelentes. E os resultados mais espetaculares (IMHO) foram alcançados com assíntota, que, ao contrário do TikZ, um motor 3D. No entanto, acontece que se almejamos gráficos vetoriais 3D, oos esforços necessários para desenhar tori 3D são mais substanciais do que se pode ingenuamente esperar.
Isto levanta a questão de saber se é ou não possível fazer TikZ discrimina entre pontos visíveis e "ocultos" na superfície do toro. Afinal, a discriminação análogafoi alcançado para esferas. A resposta é sim.
Parte I da resposta: como desenhar o contorno de um toro? Dada uma parametrização do toro T(\u,\v)=(cos(\u)*(\R + \r*cos(\v),(\R + \r*cos(\v))*sin(\u),\r*sin(\v)), pode-se calcular as tangentes e depois a normal em um determinado ponto. O limite do toro é determinado pela exigência de que a normal seja ortogonal à normal da tela. A curva resultante é então uma função T(\u,vcrit(\u)). Os valores críticos \vtêm uma representação muito simples:
vcrit1(\u,\th)=atan(tan(\th)*sin(\u));% first critical v value
vcrit2(\u,\th)=180+atan(tan(\th)*sin(\u));% second critical v value
Eles determinam onde começam ou terminam as partes visíveis e/ou ocultas dos ciclos que envolvem o toro. Observe, entretanto, que o contorno vcrit2pode, dependendo do ângulo de visão \tdplotmaintheta, ter autointerações. É por isso que existe um discriminante no código abaixo.
\documentclass[tikz,border=3.14mm]{standalone}
\usepackage{tikz-3dplot}
\begin{document}
\tdplotsetmaincoords{70}{0}
\tikzset{declare function={torusx(\u,\v,\R,\r)=cos(\u)*(\R + \r*cos(\v));
torusy(\u,\v,\R,\r)=(\R + \r*cos(\v))*sin(\u);
torusz(\u,\v,\R,\r)=\r*sin(\v);
vcrit1(\u,\th)=atan(tan(\th)*sin(\u));% first critical v value
vcrit2(\u,\th)=180+atan(tan(\th)*sin(\u));% second critical v value
disc(\th,\R,\r)=((pow(\r,2)-pow(\R,2))*pow(cot(\th),2)+%
pow(\r,2)*(2+pow(tan(\th),2)))/pow(\R,2);% discriminant
umax(\th,\R,\r)=ifthenelse(disc(\th,\R,\r)>0,asin(sqrt(abs(disc(\th,\R,\r)))),0);
}}
\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords]
\pgfmathsetmacro{\R}{4}
\pgfmathsetmacro{\r}{1}
\draw[thick,fill=gray,even odd rule,fill opacity=0.2] plot[variable=\x,domain=0:360,smooth,samples=71]
({torusx(\x,vcrit1(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
{torusy(\x,vcrit1(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
{torusz(\x,vcrit1(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)})
plot[variable=\x,
domain={-180+umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)}:{-umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)},smooth,samples=51]
({torusx(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
{torusy(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
{torusz(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)})
plot[variable=\x,
domain={umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)}:{180-umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)},smooth,samples=51]
({torusx(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
{torusy(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
{torusz(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)});
\draw[thick] plot[variable=\x,
domain={-180+umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)/2}:{-umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)/2},smooth,samples=51]
({torusx(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
{torusy(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
{torusz(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)});
\foreach \X in {240,300}
{\draw[thick,dashed]
plot[smooth,variable=\x,domain={360+vcrit1(\X,\tdplotmaintheta)}:{vcrit2(\X,\tdplotmaintheta)},samples=71]
({torusx(\X,\x,\R,\r)},{torusy(\X,\x,\R,\r)},{torusz(\X,\x,\R,\r)});
\draw[thick]
plot[smooth,variable=\x,domain={vcrit2(\X,\tdplotmaintheta)}:{vcrit1(\X,\tdplotmaintheta)},samples=71]
({torusx(\X,\x,\R,\r)},{torusy(\X,\x,\R,\r)},{torusz(\X,\x,\R,\r)})
node[below]{$C\ifnum\X=300 '\fi$};
}
\draw[thick] plot[smooth,variable=\x,domain=60:420,samples=71]
({torusx(-15+15*cos(\x),80+45*sin(\x),\R,\r)},
{torusy(-15+15*cos(\x),80+45*sin(\x),\R,\r)},
{torusz(-15+15*cos(\x),80+45*sin(\x),\R,\r)})
node[above left]{$C''$};
\end{tikzpicture}
\end{document}
Como você pode ver, os contornos visíveis (sólidos) ou ocultos (tracejados) ficam entre vcrit1e vcrit2, que são funções de \ue do ângulo de visão.
Pode-se então variar as posições do(s) ciclo(s) e o ângulo de visão.
\documentclass[tikz,border=3.14mm]{standalone}
\usepackage{tikz-3dplot}
\begin{document}
\foreach \X in {0,10,...,350}
{\tdplotsetmaincoords{65+10*sin(\X)}{0}
\tikzset{declare function={torusx(\u,\v,\R,\r)=cos(\u)*(\R + \r*cos(\v));
torusy(\u,\v,\R,\r)=(\R + \r*cos(\v))*sin(\u);
torusz(\u,\v,\R,\r)=\r*sin(\v);
vcrit1(\u,\th)=atan(tan(\th)*sin(\u));% first critical v value
vcrit2(\u,\th)=180+atan(tan(\th)*sin(\u));% second critical v value
disc(\th,\R,\r)=((pow(\r,2)-pow(\R,2))*pow(cot(\th),2)+%
pow(\r,2)*(2+pow(tan(\th),2)))/pow(\R,2);% discriminant
umax(\th,\R,\r)=ifthenelse(disc(\th,\R,\r)>0,asin(sqrt(abs(disc(\th,\R,\r)))),0);
}}
\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords]
\pgfmathsetmacro{\R}{4}
\pgfmathsetmacro{\r}{1}
\path[tdplot_screen_coords,use as bounding box]
(-1.3*\R,-1.3*\R) rectangle (1.3*\R,1.3*\R);
\draw[thick,fill=gray,even odd rule,fill opacity=0.2] plot[variable=\x,domain=0:360,smooth,samples=71]
({torusx(\x,vcrit1(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
{torusy(\x,vcrit1(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
{torusz(\x,vcrit1(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)})
plot[variable=\x,
domain={-180+umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)}:{-umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)},smooth,samples=51]
({torusx(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
{torusy(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
{torusz(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)})
plot[variable=\x,
domain={umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)}:{180-umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)},smooth,samples=51]
({torusx(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
{torusy(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
{torusz(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)});
\draw[thick] plot[variable=\x,
domain={-180+umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)/2}:{-umax(\tdplotmaintheta,\R,\r)/2},smooth,samples=51]
({torusx(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
{torusy(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)},
{torusz(\x,vcrit2(\x,\tdplotmaintheta),\R,\r)});
\draw[thick,dashed]
plot[smooth,variable=\x,domain={360+vcrit1(\X,\tdplotmaintheta)}:{vcrit2(\X,\tdplotmaintheta)},samples=71]
({torusx(\X,\x,\R,\r)},{torusy(\X,\x,\R,\r)},{torusz(\X,\x,\R,\r)});
\draw[thick]
plot[smooth,variable=\x,domain={vcrit2(\X,\tdplotmaintheta)}:{vcrit1(\X,\tdplotmaintheta)},samples=71]
({torusx(\X,\x,\R,\r)},{torusy(\X,\x,\R,\r)},{torusz(\X,\x,\R,\r)});
\end{tikzpicture}}
\end{document}
As limitações atuais são:
- O ângulo teta deve ser maior que 90 graus e grande o suficiente para que o toro tenha um buraco. (Esta restrição foi levantadanesta postagem.)
- O ângulo phi é 0. Esta não é uma limitação verdadeira devido à simetria do toro. Isso poderia ser superado mudando todos
\vos valores para menos\tdplotmainphi, se isso for necessário (mas neste momento não vejo motivação para isso).
Com todos estes preparativos podemos abordar a segunda parte da questão, nomeadamente como conseguir um sombreamento. Enquanto não se insistir numarealistasombreamento, pode-se usar, por exemploesta resposta. O objetivo principal desta discussão não é o sombreamento, mas a questão de como usar o acima com pgfplots. Para minha surpresa, é absolutamente simples. Isso ocorre porque pgfplotsestá extremamente bem escrito e todos os ângulos necessários estão armazenados em chaves pgf.
\documentclass[tikz,border=3.14mm]{standalone}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.16}
\tikzset{declare function={torusx(\u,\v,\R,\r)=cos(\u)*(\R + \r*cos(\v));
torusy(\u,\v,\R,\r)=(\R + \r*cos(\v))*sin(\u);
torusz(\u,\v,\R,\r)=\r*sin(\v);
vcrit1(\u,\th)=atan(tan(\th)*sin(\u));% first critical v value
vcrit2(\u,\th)=180+atan(tan(\th)*sin(\u));% second critical v value
disc(\th,\R,\r)=((pow(\r,2)-pow(\R,2))*pow(cot(\th),2)+%
pow(\r,2)*(2+pow(tan(\th),2)))/pow(\R,2);% discriminant
umax(\th,\R,\r)=ifthenelse(disc(\th,\R,\r)>0,asin(sqrt(abs(disc(\th,\R,\r)))),0);
}}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\pgfmathsetmacro{\R}{4}
\pgfmathsetmacro{\r}{1}
\begin{axis}[colormap/blackwhite,
view={30}{60},axis lines=none
]
\addplot3[surf,shader=interp,
samples=61, point meta=z+sin(2*y),
domain=0:360,y domain=0:360,
z buffer=sort]
({torusx(x,y,\R,\r)},
{torusy(x,y,\R,\r)},
{torusz(x,y,\R,\r)});
\pgfplotsinvokeforeach{300,360}{%
\draw[thick,dashed]
plot[smooth,variable=\x,domain={360+vcrit1(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/el})}:{vcrit2(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/el})},samples=71]
({torusx(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\x,\R,\r)},{torusy(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\x,\R,\r)},{torusz(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\x,\R,\r)});
\draw[thick]
plot[smooth,variable=\x,domain={vcrit2(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/el})}:{vcrit1(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/el})},samples=71]
({torusx(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\x,\R,\r)},{torusy(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\x,\R,\r)},{torusz(#1-\pgfkeysvalueof{/pgfplots/view/az},\x,\R,\r)})
node[below]{$C\ifnum#1=360 '\fi$};
}
\draw[thick] plot[smooth,variable=\x,domain=60:420,samples=71]
({torusx(25+15*cos(\x),80+45*sin(\x),\R,\r)},
{torusy(25+15*cos(\x),80+45*sin(\x),\R,\r)},
{torusz(25+15*cos(\x),80+45*sin(\x),\R,\r)})
node[above left]{$C''$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{document}
