如何寫卷積和傅立葉變換

Question

我想在 LaTeX 中寫出以下等式：

\begin{equation}
x(t) \ast h(t) = y(t) 

X(f) H(f) = Y(f) 
\end{equation}

我想\ast表示卷積。我知道還有\star命令。我用哪一個來表示卷積有關係嗎？然後我想要一個傅立葉變換符號，我的意思是兩邊有彩色和空圓圈的線，用來連接 x(t) 和 X(f)、h(t) 和 H(f)、y(t ) 和Y(f) 分別。有辦法做到這一點嗎？

Answer 1

\circledast包中的符號通常amssymb用來表示循環卷積過程。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}

\begin{align*}
x(t) \circledast h(t) &= y(t) \\
X(f) H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

\end{document}

對於線性卷積，簡單的*更合適：

\begin{align*}
x(t)*h(t) &= y(t) \\
X(f) H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

要繪製方程式各部分之間的聯繫，TikZ 套件可以與其tikzmark庫一起使用來標記線條開始和結束的位置。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,tikzmark}
\begin{document}

\begin{align*}
x\tikzmark{x}(t)*h\tikzmark{h}(t) &= y\tikzmark{y}(t) \\[2em]
X(f) \, H(f) &= Y(f) 
\end{align*}

\begin{tikzpicture}[overlay,remember picture, > = {Circle[open,blue]}]
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:x) -- ++(0,-2.2em);
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:h) -- ++(0,-2.2em);
  \draw [<->] ([yshift=-.7ex]pic cs:y) -- ++(0,-2.2em);
\end{tikzpicture}

\end{document}

Answer 2

我只是想補充一點，有一種更簡單的方法可以透過使用 trfsigns 套件來獲取傅立葉變換對之間的符號。

\usepackage{trfsigns}
$g(x_1,x_2)* h(x_1,x_2)\laplace G(\omega_1,\omega_2)\cdot H(\omega_1,\omega_2)$